深入浅出神经网络的改进方法！

高尔夫球员刚开始学习打高尔夫球时，通常会花很长时间练习挥杆。慢慢地，他们才会在此基础上练习其他击球方式，学习削球、左曲球和右曲球。本章仍着重介绍反向传播算法，这就是我们的“挥杆基本功”——神经网络中大部分工作、学习和研究的基础。

大多数人不喜欢被他人指出错误。我以前刚学习弹钢琴不久，就在听众前做了一次首秀。我很紧张，开始时错将八度音阶的曲段演奏得很低。我不知所措，因为演奏无法继续下去了，直到有人指出了其中的错误。我当时非常尴尬。不过，尽管不愉快，我们却能因为明显的错误而快速地学到正确的知识。下次我肯定能演奏正确！然而当错误不明确的时候，学习会变得非常缓慢。学习速度下降的原因实际上也是一般的神经网络学习缓慢的原因，并不仅仅是特有的。

引入交叉熵代价函数

如何解决这个问题呢？研究表明，可以使用交叉熵代价函数来替换二次代价函数。

将交叉熵看作代价函数有两点原因。第一，它是非负的，C > 0。可以看出(57)的求和中的所有单独项都是负数，因为对数函数的定义域是(0, 1)。求和前面有一个负号。

第二，如果对于所有的训练输入x，神经元实际的输出都接近目标值，那么交叉熵将接近0。假设在本例中，y = 0而a ≈ 0，这是我们想要的结果。方程(57)中的第一个项会消去，因为y = 0，而第二项实际上就是−ln(1 − a) ≈ 0；反之，y = 1而a ≈ 1。所以实际输出和目标输出之间的差距越小，最终交叉熵的值就越小。

综上所述，交叉熵是非负的，在神经元达到较高的正确率时接近0。我们希望代价函数具备这些特性。其实二次代价函数也拥有这些特性，所以交叉熵是很好的选择。然而交叉熵代价函数有一个比二次代价函数更好的特性：它避免了学习速度下降的问题。

代价函数曲线要比二次代价函数训练开始部分陡峭很多。这个交叉熵导致的陡度正是我们期望的，当神经元开始出现严重错误时能以最快的速度学习。

使用交叉熵来对MNIST数字进行分类

如果程序使用梯度下降算法和反向传播算法进行学习，那么交叉熵作为其中一部分易于实现。我们会使用一个包含30个隐藏神经元的网络，小批量的大小也设置为10，将学习率设置为，训练30轮。network2.py的接口和network.py的略有区别，但用法还是很好懂的。可以在Python shell中使用help(network2.Network.SGD)这样的命令来查看network2.py的接口文档。

>>> import mnist_loader
>>> training_data, validation_data, test_data = \
... mnist_loader.load_data_wrapper()
>>> import network2
>>> net = network2.Network([784, 30, 10], cost=network2.CrossEntropyCost)
>>> net.large_weight_initializer()
>>> net.SGD(training_data, 30, 10, 0.5, evaluation_data=test_data,
... monitor_evaluation_accuracy=True)

注意，net.large_weight_initializer()命令使用第1章介绍的方式来初始化权重和偏置。这里需要执行该命令，因为后面才会改变默认的权重初始化命令。运行上面的代码，神经网络的准确率可以达到95.49%，这跟第1章中使用二次代价函数得到的结果（95.42%）相当接近了。

对于使用100个隐藏神经元，而交叉熵及其他参数保持不变的情况，准确率达到了96.82%。相比第1章使用二次代价函数的结果（96.59%）有一定提升。看起来是很小的变化，但考虑到误差率已经从3.41%下降到3.18%了，消除了原误差的1/14，这其实是可观的改进。