再看傅里叶和他的变换的故事

数学算法俱乐部

日期：2020年09月27日

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来源：AMF工作室

傅立叶（JeanBaptiste Joseph Fourier，1768-1830），法国数学家、物理学家，法国科学院院士，提出傅立叶级数，并将其应用于热传导理论上。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。傅立叶变换的基本思想首先由傅立叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。

从现代数学的眼光来看，傅立叶变换是一种特殊的积分变换。傅里叶变换能将满足一定条件的函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：

1、傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数,它还是酉算子；

2、傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

3、正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

4、著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

5、离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅立叶变换算法，FFT)。正是由于上述的良好性质,傅立叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。物理方面，他是傅立叶定律的创始人，1822 年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪理论物理学的发展产生深远影响。

此外，在1820年傅立叶计算出，一个物体如果有地球那样的大小，以及到太阳的距离和地球一样，如果只考虑入射太阳辐射的加热效应，那它应该比地球实际的温度更冷。虽然傅立叶最终建议，星际辐射可能占了其他热源的一大部分，但他也考虑到一种可能性：地球的大气层可能是一种隔热体。这种看法被广泛公认为是有关现在广为人知的“温室效应”的第一项建议。小行星10101号命名为傅立叶，他也是名字被刻在埃菲尔铁塔的七十二位法国科学家与工程师的其中一位。

1768年3月21日，傅立叶生在奥塞尔的一个裁缝之家。傅立叶的父母在他8岁时相继病故，一个奥塞尔的主教就收容了傅立叶，他看这孩子温文有礼，就请教堂附近一个妇人照顾他，傅立叶也进入这间教堂所办的小学就读：傅立叶在12岁时就显出一流的文学才能，他负责替主教记录讲道稿，甚至还自己写稿卖给一些不会讲道的主教。很多人认为这个孩子这么乖，又这么懂事，将来一定可以当大主教，哪知傅立叶自己写道：“我的心充满了烦躁、叛逆，我不知道我在写什么，那些照本宣科的人也不知自己在胡扯什么。听道是最无聊的事，我尤其怕听自己写的讲道稿，又怕被人家看出，只好自愿担任管炉火的工作，在教室里做事比听道有趣。火炉与讲道大厅有一道大慢子隔开，我在火炉边没有什么事做，就找一些书读，一天我偶然读到数学，数学立刻成为我无聊时的最佳解闷剂。”

数学本来只是一种加、减、乘、除的计算方法，后来数学才逐渐被发现是“了解上帝创造”的最佳方法。在看得见的世界背后，有一个看不见的数学天地。人类必须用纯理智的思索，才能走进数学城堡的大门。数学也是训练人抽象思维的最佳方式，所有的科学都需要依靠实验，只有数学不用实验证明，反而用来解析实验。傅立叶写道：“我到处收集别人用剩的蜡烛，这样夜里没有炉火时，我还可以再读数学。”对一个拒绝听道的孩子不要太早失望，因为他可能在其它地方找到上帝。

1789年，傅立叶参加过革命军，反对腐败的路易斯王朝。但是，不久他就发现得势的革命军，反成为野心分子残杀异己的工具。他退出军队，又回到教堂管炉火、写讲章、读数学。这时他提出“数值分析”，求得多项式根的方法。当时兵荒马乱，很少人注意到这个研究。管炉火的薪水很低，傅立叶只好回到以前就读的教会学校当数学的代课老师。不久学生就发现这个代课老师，才是真正的数学高手。傅立叶的数学能力首先是被学生肯定的，而后才逐渐有名，他发现的数值分析法也被注意到了。1794年拿破仑任命他为巴黎师范大学的首席数学教授，那时傅立叶才26岁。年轻的他，充满了热情与改革数学教育的抱负。他知道教堂里沉闷冗长的讲道，会把上帝活泼的真理讲死了。同样沉闷的方式，也会把数学讲成一堆垃圾。傅立叶以首席数学教授的身分，要求老师四点：

第一、上课时，老师不能坐在椅子上，必须站着教学。

第二、上每一堂课以前，老师必须准备一点“新东西”来教，而非老调重弹。

第三、教学时，不只是要教理论，而且要教这个理论产生的历史渊源，傅立叶是第一个在数学课堂上教数学史的人。

第四、每一次上课，老师都要准备一个小题目，与学生一起讨论，增加师生间的互动。傅立叶被称为“天才教师”，连拿破仑在晚上举办宴会时，也请傅立叶去演讲数学。

1798年，拿破仑率领远征军，进攻埃及。拿破仑要求傅立叶同行：“看我如何把欧洲文明，分享给埃及百姓。”拿破仑的军队3天之内就攻入开罗，以后又节节胜利。傅立叶却在这时逐渐对政治失望，他没想到分享文明是用战争，而非用教育。他在埃及建立学校，希望用教育重整埃及的秩序。从此傅立叶与拿破仑渐行渐远。

傅立叶这个教堂里长大的孩子也经历过信仰动摇期，对圣经的真实性产生过怀疑。但他后来在数学研究中重新寻找到上帝。圣经是一本以历史呈现的书，因此考古是判断圣经真伪的好方法。圣经里多次提到埃及，例如以色列人约瑟被卖到埃及，后来还担任宰相，帮助埃及人度过七个干旱之年。这么大的事件，应该在古埃及土地里留下痕迹，但是由埃及人写的历史里没有这一段的干旱，埃及史里也没提到这一个宰相。他于是组织了一个考古队去探索圣经中流传的奥秘，这是圣经考古学的开始，他要在沙漠中寻找天地和弦。

1801年，傅立叶被任命为格勒诺布尔(Grenoble)的行政长宫。傅立叶显然不是一个好市长，埃及炎热的沙漠有一段记载，深深地吸引他，为此他率领一支考古队进入沙漠，考证在沙漠间流传的一个古老传说。当时的埃及动荡不安，有些暴徒专在黑夜，拿开山刀切开法国旅客的喉咙。傅立叶的沙漠考古队，在炎热中奋力地挖掘。他不知道还有多少时间可以工作。可惜的是，1805年法国在海上被英国打败，傅立叶只好撤退。英国的考古队继续在原址开挖，后来挖出了约在公元前三千二百年时埃及的第四个古王朝，有一个从来不为人所知的法老王的雕像，他的额头上有7个无花果的印记，代表7个丰年，考古队还发现那个法老王的宰相就是约瑟。他们还挖出了一口深井，井深约有一百公尺，是当时埃及旱灾时所挖的深井。这口井后来就称为“约瑟井”，是目前人类最古老的一口井。

傅立叶回到法国后，他的热忱没有消退，1807年发表了《热的传播》，电磁学大师麦克斯韦说：“这是一首伟大的数学诗篇”。1814年拿破仑战败，被送到地中海的厄尔巴岛。1815年3月1日，拿破仑偷渡回国，受到全国热烈的欢迎。傅立叶却公开反对拿破仑，傅立叶到里昂，请当地指挥宫反抗拿破仑，傅立叶立刻被捕，并且由拿破仑亲自审问他。在审问中傅立叶说了一句非常有名的话，他对拿破仑说：“我确信你是失败的，因为在你的周围只剩下一群狂热的追随者。狂热过去，什么都会过去的! ”傅立叶能够分辨理想的热忱与盲目的狂热，他的看法是正确的。1815年6月18日，拿破仑兵败滑铁卢，傅立叶才自监狱中被放出。出狱后，傅立叶继续研究热的数学理论，并发表以边界条件解微分方程式的方法。1830年5月16日，他因心脏病去世。

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傅里叶变换

傅里叶变换是一种时频分析方法，它在金融学中扮演越来越重要的角色，常用于金融时间序列分析，比如期权定价，利率分析，股指波动等的研究。我们所遇到的金融数据基本都是时域形式的信号，通过傅里叶变换，可以将其从时域变换到频率域，这通常有助于分析，因为时域看似复杂无规律的信号，其频域结构要相对简单。本篇是关于傅里叶变换的简单介绍，具体包含三个内容，先介绍正余弦信号，然后推导傅里叶级数，最后通过傅里叶级数导出傅里叶变换。

1. 余弦信号：

正弦和余弦信号只有一个频率成分，称之为单频信号。以余弦信号（1-1式）为例：

f(t)是信号的时域形式，freq表示该信号的频率，t为时间。信号f(t)具有周期性，每秒钟有f个重复波形。

之所以先说正余弦波，是因为下面要讲的傅里叶级数会用到它们。希望读者树立一个概念：时域的一条余弦波，代表频域的一个频率分量。

2. 傅里叶级数

傅里叶级数作为级数的一种，其出发点和其他级数一样，那就是对于一个复杂的波形，能不能将它分解成一系列简单波形的叠加，这样会便于分析处理。

例如一个周期性的方波信号f(t)（占空比0.5）（1-2式）：

该方波幅度为1，周期T=1s，其波形如下图：

傅里叶级数通过多个正余弦波的叠加来逼近信号。通常一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以分解成傅里叶级数，并且我们遇到的周期性信号大多满足狄里赫利条件，所以狄里赫利条件这里就不讲了。

假设周期信号记作f(t)，其周期为T, 则f(t)可以展开成如下的傅里叶级数（1-3式）：

以（1-1）式定义的周期方波为例，使用傅里叶级数做分解，可以得到它的级数系数：

截取该级数的前8项，得到其波形为：

傅里叶系数的前16项如下：

插入动态度[Fourier_series_and_transform.gif]

从上图可以看到，周期信号f(t)可以分解成无穷多个余弦波形的叠加，每个余弦波的幅度由傅里叶级数的系数确定。每个余弦波代表了一个频率分量，而且这些频率分量都是1/T的整数倍。

利用欧拉公式，可以将正余弦项合并，得到形式上更加简化的傅立叶级数。欧拉公式如下：

将欧拉公式带入（1-3）式，得到负指数形式的傅里叶级数，这将方便导出傅里叶变换。

其中系数Cn为：

3. 傅里叶变换

由于傅里叶级数只能分解周期信号，而在实际中遇到的信号通常是非周期信号，所以需要对傅立叶级数做些修改。非周期信号可以看成周期很大，甚至无穷大的信号，因此，对傅立叶级数的系数Cn乘以周期T，再关于T求极限，从而得到(1-4)式：

将F(f)定义为非周期信号f(t)的傅里叶变换，也叫f(t)的频谱函数。需要注意到是，傅里叶变换也有使用条件，比如，信号f(t)的傅里叶变换存在的充分条件是在无线区间内满足绝对可积，即要求：

同样以矩形脉冲为例，定义信号f(t)

其时域波形如图：

根据(1-4)式，得到f(t)的傅里叶变换（频谱）:

F(f)的图像如下所示：

从上图可以看到，该非周期方波f(t)包含有从0到无穷大的所有频率分量，并且频率越高的分量，其幅度越小。与周期信号相比，非周期信号的频域分量是连续的，而周期信号的频域分量是以倍频的形式离散分布的。

参考文献

[1] 郑君里, 杨为理, 应启珩. 信号与系统（上册、下册）[M]. 3版. 高等敎育出版社, 2011.

[2] Bloomfield P. Fourier analysis of timeseries: an introduction[M]. John Wiley & Sons, 2004.

[2] Fang F, Oosterlee C W. A novel pricingmethod for European options based on Fourier-cosine series expansions[J]. SIAMJournal on Scientific Computing, 2008, 31(2): 826-848.

[3] Cherubini U, Della Lunga G, Mulinacci S, etal. Fourier transform methods in finance[M]. John Wiley & Sons, 2010.

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