傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么？为什么要进行这些变换？

作者丨DBinary@知乎

来源丨https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/774074211

编辑丨极市平台

也就是说sin角a的值,等于其对应直角三角形的对边比斜边,实际上我们常常用 

来表示这个正弦函数,而 则表示某一弧度,如果你把这个三角形画在一个二维坐标系的圆上面,比如下面的这种形式

那么 ,当然,这个时候,正弦值还仅仅是一个"正弦值",现在你可以开始想象假如圆上的这个点现在开始动了起来,并开始绕圆逆时针旋转, 的值会如何变化呢?下面的图会告诉你答案

图像来自Imgur

• 这个点围绕的圆到底有多大---->波幅

• 这个点旋转的速度有多快---->角速度--->频率

• 这个点最初的位置在哪里---->相位

表示角速度,当然,角速度和频率是对应关系,所以信号处理中常常也用角频率这种俗语来描述

表示相位,sin和cos两个正弦函数的差别其实也仅仅是相位不同

是这个正弦波的偏移,你可以理解为这个波在y轴上如何的上下移动,在信号处理中,这个会被统一到直流分量中(频率为0的波的波幅)

(式1.0)

图像来自wiki百科

那么问题又来了,已知我们如何把它分解为

(我知道有人肯定会说,作者你胡说八道, 怎么会是0,老师告诉我它明明是发散的,你又忽悠我,关于这点我要说明一下,首先你的老师没说错,不过我也没有忽悠你,首先在大学高数求极限那些知识中,这个函数确实积分后是发散的,这个发散的具体原因是建立在 这种情况下的,也就是我们正常说的无穷积分,但是如果按这种玩法,基本上大半的信号处理函数都没法玩了,因此在信号处理的公式中比如傅里叶变换,默认都以柯西主值积分作为钦定的积分方式,打个比方定义这种情况下,负无穷到正无穷的积分不就是0了么,所以这里我说明一下,傅里叶变换中使用的是柯西主值积分,整个无穷区间取周期倍)

那么剩下的问题就是如何求得该频率正弦波对应的幅度和相位了,实际上就是求式1.0的和 。下面我要甩点公式了,如果感到不适,可以选择跳过

设 那么，上式变为

现在，让我们正式的引入正交性的性质，还记得检波手段么，这里，我们假设对用进行检波(说人话就是乘起来,然后为了方便计算对其在一个周期内积分)，那么就有

假设f(x)中含有 角频率的正弦波系数为，那么根据三角函数的正交性，上式就有

为什么会这样?你想啊,别的频率的波积分后全变0了,不就是剩下频率一样的情况了么。因此

同样，也可以使用相同的方式进行推导。

因此，通过 我们可以知道这个波的波幅与相位：

这搞毛呢,不就是傅里叶变换的公式乘以一个 么,只要搞懂为什么要这么干,我们就能理解拉普拉斯变换了。

是的,这个信号的毛病在于,他已经上天了,是的,它增长的速度太快了,而我们却要使用不能够"上天"的正弦函数去拟合它,这不是为难我胖虎么,这个时候,我们就得想起一句名言,要么解决问题,要么解决制造问题的人(信号),既然傅里叶变换无法制造一个同样上天的正弦信号来拟合,我们就把它原本的信号"掰弯",那么如何"掰弯"呢,简单,乘以一个 就行了。

你看,这不就皆大欢喜了么,搞来搞去,拉普拉斯变换的意义无非就是把那些想要上天的函数掰弯,好最终变成那种适合做变换的函数,但是掰弯听起来不太专业,所以我们又管叫衰减因子

好的,现在我们把连续的信号换一下,换成离散的"点",首先积分是不能用了,既然换成离散的了,积分对应的就应该变成累加符号 ,当然,也是不能用了,这是一个连续信号的写法,而离散的一个一个的点得换成,其中的n表示第n个点,实际上就是时间变来的,当然也不能用了,你想啊,我们要具体到某个点,这个点怎么表示,当然了,首先把时间换成索引号,然后这个动态的角速度值换成具体的角度 。

什么，太简略了不过瘾?

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