前言

机器学习｜数学基础｜线性代数

Mathematics for Machine Learning

扎实基础 循序渐进！

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5.5 二次型及其标准形

定义8：二次型

含有个变量的二次齐次函数

称为二次型

❝

中的每一项的次数都是2称为二次齐次函数 比如

❞

取，则有

所以

对于二次型，寻求可逆的线性变换

也就是将上式代入，替换，使得二次型「只含有平方项」，得到

这种只含有平方项的二次型，称为二次型的「标准形」（或法式）

如果标准型的系数只在三个数中取值，即

则称上式为二次型的「规范形」

可以变形为

记

则二次型可记作

其中为对称阵

例如，二次型用矩阵记号写出来，就是

❝

对称阵的求法注意系数就是多项式中相对应的系数，而的系数就是多项式中相对应的「系数的一半」

❞

任给一个二次型，就可以惟一确定一个对称阵；反之认给一个对称阵，也可以惟一地确定一个二次型。说明二次阵与对称阵之间存在一一对应的关系

把对称阵叫做二次型的矩阵，也把叫做对称阵的二次型，对称阵的秩就叫做二次型的秩

在式子中

记，则上式可以变为

代入，得到

定义9：合同

设和是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称矩阵与「合同」

若是对称阵

得到也是对称阵

在中，因为可逆 所以

由此可知，经可逆变换后，二次型的矩阵由变为与合同的矩阵，且二次型的秩不变

如果要使二次型经可逆变换变成标准形，也就是

也就是要使得成为「对角阵」

所以就是寻找一个可逆矩阵 使得变为对角阵，这个过程就称为对称阵合同对角化

定理8

由定理7得，任一对称阵，总存在正交阵，使得

将此结论运用到二次型得到

任一二次型，总有正交变换，使化为标准 形

其中是f的矩阵的特征值

推论

任给元二次型，总有可逆变换，使得为规范形

举例

例14

求一个正交变换，把二次型

化为标准形

「思路」

• 需要将二次型变为标准形，其实就是需要找到一个可逆矩阵C，使得变成一个对角阵
• 又因为正交阵，可以使得
• 所以这道题实质是求一个正交阵

「解答」

二次型的矩阵为

再求一个正交阵，使得

由

解得的特征值为

对应,解方程

得基础解系

对进行单位化，得

对应，解方程

得基础解系

将正交化

令

再将单位化，得

将构成正交矩阵

有

综上，有正交变换

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～