本篇介绍随机变量和概率分布的基本概念，以及有关概率分布的一些简单统计量，它们构成了概率和统计的基础知识。

11 基本概念

事件定义为样本空间的一个子集。例如，出现任意奇数点数的事件 表示为

没有样本点的事件称为空事件，用 表示。仅由一个样本点组成的事件称为基本事件，而由多个样本点组成的事件称为复合事件。包含所有可能样本点的事件称为整个事件。

至少发生了 和 事件之一的事件称为事件的并集，并用 表示。例如，出现奇数的事件 与出现小于或等于 的事件 的并集表示为

另一方面，事件 和 同时发生的事件称为事件的交集，用 表示。上面的事件 和 的交集为

如果事件 和 永远不会同时发生，即

则 和 事件称为不相交事件。出现奇数的事件和出现偶数的事件不能同时发生，因此是不相交的。对于 和 事件，以下分配定律成立：

对照上面公式和下图，回忆一下中学集合论里的文氏图。

由集合的补集概念很容易想到所谓的补事件。样本空间中除去事件 中样本点后剩下的样本点构成的事件称为 的补事件，用 表示。出现奇数的事件的补事件是不出现奇数，即出现偶数。对于事件 和 的并集和交集，遵循以下德·摩根（De Morgan）定律：

22 概率

概率是对事件发生的可能性的度量，而事件 发生的概率用 表示。俄国数学家科莫哥洛夫（Kolmogorov）通过以下三个公理来定义了概率，而这些公理是对概率显然应该满足的特性的一种抽象。

1.非负性：对于任意事件

2.归一性（幺正性）：适用于整个样本空间。

3.可加性：对于不相交事件的任何可数序列，

从上述公理可以看出，事件 和 满足以下加法法则。

这同样使用于两个以上的事件：对于 和 事件，

投掷骰子示例（离散均匀分布 ）

33 随机变量和概率分布

如果将概率分配给变量的每个取值，则该变量称为随机变量。概率分布是描述从随机变量的取值到概率的映射的函数。

可数集是其元素可以枚举为 的集合。在一个可数集中取一个值的随机变量称为离散随机变量。请注意，可数集的大小不必是有限的，可以是无限的，例如所有自然数的集合。如果离散随机变量 的每个值的概率为

其中， 称为概率质量函数。注意 应该满足

投掷一个六面均匀的骰子 的结果是一个离散的随机变量，其概率质量函数由 给出。

具有连续值的随机变量称为连续随机变量。如果连续随机变量 在 中取值的概率为

被称为概率密度函数，需要注意的是 应该满足

例如，旋转轮盘 的结果是一个连续的随机变量，其概率密度函数由 给出。请注意，式（1）也有一个重要的含义，即连续随机变量 正好取值 的概率实际上为零：

比如，旋转轮盘赌的结果恰好是特定角度的可能性为零。

连续随机变量 的值小于或等于 的概率，

称为累积分布函数。

累积分布函数 满足以下属性：

• 单调非减： 时有 。

• 左极限：。

• 右极限：。

如果存在累积分布函数的导数，那么它就是概率密度函数：

称为上尾概率或右尾概率，而 称为下尾概率或左尾概率。

上尾概率和下尾概率一起称为双侧概率，而它们中的任何一个都称为单侧概率。

44 概率分布的性质

在讨论概率分布的性质时，使用简单的统计量来概括概率质量/密度函数会带来方便。在本节中，将介绍此类统计量。

+数学期望、中位数和众数

数学期望（Expectation）字面上是指期望随机变量取到的值。当然用文字表达比较含糊，具体还是看公式。用 表示的随机变量 的期望定义为根据概率质量/密度函数 加权的 的平均值，

请注意，存在诸如柯西（Cauchy）分布之类的概率分布，它们的期望并不存在（例如趋于无穷大）。对于 的任何函数 ，可以类似地定义它们的期望：

对于常数 ，期望运算 满足以下属性：

尽管期望代表了概率分布的中心，但当有异常值存在时，它与直观期望的差距可能很大。

例如，收入分配中，由于一个人赚取 100 万美元，直接把期望值拉高到 美元，以至于让所有其他人都低于平均值。这就是网络上大家常说的被平均。

在这种情况下，中位数（Median）比期望值更合适，中位数定义为使得下式成立的 值，

也就是说，中位数是概率分布的中心，就其而言，它是不管从左侧还是右侧开始数的中间点。在示例中，中位数为 美元，确实位于人群中间。另外，还会用到中位数的扩展，当 的 -分位数，即使得下式成立的 值，

也就是说，-分位数从左侧给出了 点，而当 时就是中位数。

让我们考虑在区间 上定义的概率密度函数 ，而所谓的期望平方误差定义为

使得它取极小值的 值，事实上正是 的期望。类似地，使得期望绝对误差

取最小值的 值也是 的期望值。此外，式 (2) 的加权变体，

使得它取极小值的 值，正是 的 -百分位。

另一个常用的统计量是众数（Mode），它是一组数据中出现次数最多的数值，被定义为使得 取最大值的 值。

+方差和标准差

尽管期望是表征概率分布的有用统计量，但是即使概率分布具有相同的期望，它们也可以不同。接下来我们引入另一个称为方差的统计量，以表示概率分布的分散情况。随机变量 的方差 定义为

实际上，可以将以上表达式展开，

通常会使计算变得更容易。对于常数 ，方差运算 满足以下性质：

可以看到，这些性质与期望的性质完全不同。

方差的平方根称为标准差，用 表示，

通常，方差和标准差分别用 和 表示。

+偏度、峰度和矩

除了期望和方差之外，还经常使用诸如偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）之类的高阶统计量。偏度和峰度分别表示概率分布的不对称性和尖锐度，它们分别定义为

分母中的 和 用于规范化处理，峰度定义中包含的 将正态分布的峰度归零。

如上图所示，如果偏度为正，则右侧尾比左侧尾要长；如果偏度为负，则左侧尾比右侧尾长。如果偏度为零，则分布是完全对称的。

如上图所示，如果峰度为正，则概率分布比正态分布更尖锐；如果峰度为正，则概率分布比正态分布更钝。

以上讨论说明了该统计量，

在表征概率分布中起着重要作用。 称为关于期望的 阶矩，而

被称为关于原点的第 阶矩。期望值、方差、偏度和峰度可通过使用 统一表示，

• 期望值：, 方差:

• 偏度：

• 峰度：

5矩量母函数

如果指定了期望、方差、偏度和峰度，那么概率分布在一定程度上就被确定下来了。但是，如果我们该如何用更多的特征来描述分布呢？

其实，像平均值、方差、偏度和峰度这些特征统一被称为矩，那么有没有一个函数能够计算所有矩呢？有的，那就是所谓的矩量母函数（Moment generating function）。有了它，我们可以通过微分来计算各种矩，而不是用积分算，这样就简化了计算。

作为一个极限情况，如果指定了所有阶的矩，那么概率分布可以唯一地确定下来。矩量母函数使我们能够系统地处理所有阶的矩：

的确，将零代入矩量母函数关于 的 阶导数 ，可得 阶矩：

下面证明了这一事实。

函数 关于 的 阶导数为 ，函数 关于 在原点处的泰勒展开式为，

两边分别计算期望，得

两边求导，得

将 代入其中得 。

对于某些概率分布，矩量母函数可能并不存在（例如发散到无穷大）。但它有个兄弟却是始终存在，即特征函数（Characteristic function），

其中 表示虚数单位，使得 。实际上，对概率密度函数作傅立叶变换即得到特征函数。

那么，这些函数有什么用途呢？关于这个我们下回再谈。