我是怎么向5岁侄女解释动态规划的？
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2021-01-26 14:10
我膨胀了，相信看了这个标题的同学，肯定忍不住破口大骂，什么瓜皮哦，dynamic programming这么简单吗，在我的印象里，尼玛动态规划是最难的。
> 背景
侄女5岁现在开始学习加减法了，每次做数学都离不开她的小手指，超过5的就开始数另一个手的手指，真是汗颜啊
有一天，我问她
“1+1+1+1+1等于多少？”
“搬起小拇指，就开始数了，5！”
“那么再加一个1呢？”
“当然是6了” -脱口而出
“这次你怎么算这么快的？”
“刚刚不是5吗，加1就是6了啊”
“所以你不需要重新计算，因为你记得之前的答案是5！动态规划就是说：记住之前的东西可以节省时间”
进入正题
玩归玩，闹归闹，别拿dp开玩笑！
来瞅一眼科普中国科学百科的词条解释
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。
看不完的童鞋跳过，咱整点简单点的
其实刚刚这道题应该算是最简单的动态规划题目了。
我们可以看出这道题有什么特点呢？
我们知道之所以最后一步加1会计算的那么快，大部分要归功于之前计算过答案是5，如果我们把问题归纳为一个子问题，我想要计算每一步的答案，就可以列出一个方程：f(x) = f(x -1) + 1, 大家别对f(x)发怵，就把它当做一个简单的方法。
其中，f(x)为第几步的值，设定一个初始值，x > 0, 则第一步
f(1) = 1;
f(2) = 2;
...
f(6) = 6
在程序的世界里，用什么东东来存一个可以记录之前结果值的数据结构呢？
显而易见：数组呗。直接利用下标来存，巴适, 这就是动态规划里的动态，规划就是限定一些边界和初始化。
来个训练题
leecode 322: 你有三种硬币，2元、5元、7元，每种硬币足够多，买一本书需要27元，用最少的硬币组合
怎么感觉像是回到了小学应用题？
--简单分析一下： 最小硬币组合 -> 尽量用大的硬币
这傻不拉几的题谁出的，这么简单
7+7+7=21,21+2+2+2=27， 6枚硬币
卧槽
7+5+5+5+5=27， 5枚硬币
我们可以很暴力的想一想，从大往小的算，可以加起来不超过27，比如
7+7+7+7 > 27 (排除）
7+7+7+5 或者 7 +7 +7+2+2+2 6枚
....
穷举太慢了，还会涉及到很多的重复计算，如果我想要27以内的任何值最小的硬币组合呢，想想都头大了吧。
既然计算机可以通过内存保存之前的内容，又快，很明显，我们开一个数组来保存之前的状态。
重点预警
1.1. 动态规划组成部分1：确定状态
简单的说，解动态规划的时候需要开一个数组，数组的每个元素f[i]或者f[i][j]代表什么，类似数学题中x, y, z代表什么
解动态规划需要两个意识：
最后一步
子问题
最后一步
刚刚第一题不是说了嘛，最后一步的计算结果是5。对于这道题，虽然我们不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是K枚硬币，a1, a2, ....ak面值加起来是27
所以一定有一枚最后的硬币:ak.
除掉这么硬币，前面硬币的面值加起来是27-ak
关键点1：
我们不关心前面的k-1枚硬币是怎么拼出27-ak的（可能有一种拼法，也可能有100种拼法），而且我们现在甚至还不知道ak和K, 但是我们确定前面的硬币拼出了27-ak
关键点2：
因为是最优策略， 所以拼出27-ak的硬币数一定要最少，否则这就不是最优策略了
子问题
所以我们就要求：最少用多少枚硬币可以拼出27-ak
原问题是最少用多少枚硬币拼出27
我们将原问题转化了一个子问题，而且规模更小：27-ak
为了简化定义， 我们设状态f(x）=最少用多少枚硬币拼出x
等等，我们还不知道最后的那枚硬币ak是多少
很明显，最后的那枚硬币只能是2,5或者7
如果ak是2， f(27)应该是f(27-2)+1(1代表最后一枚硬币2）
如果ak是5， f(27)应该是f(27-5)+1(1代表最后一枚硬币5）
如果ak是7， f(27)应该是f(27-7)+1(1代表最后一枚硬币7）
所以使用最少的硬币数=f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}
1.2. 动态规划组成部分2：转移方程
设状态f(x)=最少用多少枚硬币拼出x
对于任意的x : f(X) = min{f(X-2)+1, f(X-5)+1, f(X-7)+1}
1.3. 动态规划组成部分2：初始条件和边界情况
提出问题
x-2, x-5, x-7 小于0怎么办？
什么时候停下来？
1.3.1
如果不能拼出Y, 就定义f[Y] = 正无穷
例如f[-1], f[-2] = 正无穷
例如：拼不出f[1]=min{f(-1)+1, f(-3)+1, f(-6)+1}
初始条件：f[0] = 0
2.4. 动态规划组成部分2：计算顺序
计算：f[1], f[2], ... f[27]
当我们计算到f[x], f[x-2], f[x-5], f[x-7] 都已经得到结果了
如图：
f[x] = 最少用多少枚硬币拼出x
f[x] = ∞ 表示无法用硬币拼出x
参考代码
public static int coinChange(int [] A, int M ) {
int[] f = new int[M+1];
int n = A.length;
f[0] = 0;
int i,j;
for (i = 1; i<=M; i++) {
f[i] = Integer.MAX_VALUE;
for (j = 0; j< n;j++) {
// 边界条件判断
if (i >= A[j] && f[i - A[j]] != Integer.MAX_VALUE) {
f[i] = Math.min(f[i - A[j]] + 1, f[i]);
// System.out.println(i + "=" +f[i]);
}
}
}
if (f[M] == Integer.MAX_VALUE) {
f[M] = -1 ;
}
return f[M];
}
😄
核心代码就4行，是不是很简单~
当然这道题也可以通过剪枝的方法实现，这里就不多赘述
再来个训练题
还是再来一题吧，一道题也太随意了~
leecode 62 ：不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
看了上面的解题步骤，按部就班的来
2.1. 动态规划组成部分1：确定状态
最后一步
无论机器人用何种方式到达右下角，总有最后挪动的一步：-向右或者向下
如果所示，我们设右下角的坐标为(m-1,n-1)
那么最后一步的前一步机器人的位置在（m-2,n-1)或者(m-1,n-2)
子问题
那么，如果机器人有x种方式从左上角走到(m-2,n-1), 有Y种方式从左上角走到(m-1,n-2), 则机器人有X+Y的方式走到(m-1,n-1)
问题转化为，机器人有多少种 方式从左上角走到(m-2,n-1)或者(m-1,m-2）
如果走到是(m-2,n-1)如图：
我们可以直接干掉最后一列
同理如果是走到(m-1,n-2)行就减少一行。
状态：
设f[i][j]为机器人有多少种方式从左上角走到(i,j)
2.2. 动态规划组成部分2：转移方程
对于任意一个格子：
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
1 2 3
1代表机器人有多少种方式走到[i][j]
2代表机器人有多少种方式走到f[i-1][j]
3代表机器人有多少种方式走到f[i][j-1]
2.3. 动态规划组成部分3：初始条件和边界情况
初始条件：f[0][0]=1,因为机器人只有一个方式到左上角
边界情况：i=0或j=0，则前一步只能有一个方向过来，也就是说第0行或者第0列，每走一步只有一种情况，则f[i][j] = 1,其他区域都满足转移方程。
3.4. 动态规划组成部分4：计算顺序
按行计算，为什么按行计算呢？
对于这道题来说，按行计算在计算到f[1][1]时，f[0][1]和f[1][0]都已经计算了，同样按列计算这两坐标也计算了，不用再次计算。
f[0][0] = 1
计算第0行：f[0][0],f[0][1],...,f[0][n-1]
计算第1行：f[1][0],f[1][1],...,f[1][n-1]
...
计算第m-1行：f[m-1][0],f[m-1][1],...,f[m-1][n-1]
时间复杂度：O(mn)
参考代码
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] f = new int[m][n];
int i,j;
for (i = 0; i<m; i++) {
for (j = 0; j< n; j++) {
if (i == 0 || j == 0) {
f[i][j] = 1;
} else {
f[i][j] = f[i -1][j] + f[i][j-1];
}
}
}
return f[m-1][n-1];
}
总结一下
什么题可以选择动态规划来做？
1.计数
有多少种方式走到右下角
有多少种方法选出k个数是的和是sum
2.求最大值最小值
从左上角走到右下角路径的最大数字和
最长上升子序列长度
3.求存在性
取石子游戏,先手是否必胜
能不能选出k个数使得和是sum
看到这里，基本上算是入门啦！