【写在前面】

无论是自己实现一个神经网络，还是使用一个内置的库来学习神经网络，了解 Sigmoid函数的意义是至关重要的。Sigmoid函数是理解神经网络如何学习复杂问题的关键 。这个函数也是学习其他函数的基础，这些函数可以为深度学习架构中的监督学习提供高效的解决方案。本文分为三个部分：

1、Sigmoid函数

2、线性与非线性可分性

3、为什么神经网络可以通过使用Sigmoid函数，作出复杂的决策边界

1. Sigmoid Function

1.1.  Sigmoid函数的性质和恒等式

Sigmoid函数是 Logistic函数的一种特殊形式，通常用 σ (x)或 sig (x)来表示。如下所示：

Sigmoid 函数是一条 s 形曲线，如下图中的绿线所示。该图还显示了粉红色的导数图形：

1.2.  Sigmoid——压缩函数

Sigmoid函数也可以作为压缩函数，因为它的域是所有实数的集合，它的范围是(0,1)。因此，如果函数的输入是一个非常大的负数或非常大的正数，则输出总是介于0和1之间。在-∞和 + ∞之间的任何数字也是如此。

1.3.  Sigmoid——激活函数

Sigmoid函数被用作神经网络中的激活函数。为了回顾什么是激活函数神经元，下面的图显示了激活函数神经元在神经网络的一个层中所起的作用。输入的加权和通过一个激活函数，这个输出作为下一层的输入。

当一个神经元的激活函数是一个 Sigmoid函数时，这个单元的输出保证总是介于0和1之间。此外，由于 Sigmoid是一个非线性函数，这个单元的输出将是一个非线性函数的加权和的输入。这种以Sigmoid函数为激活函数的神经元被称为sigmoid unit 。

2. 线性与非线性可分性?

假设我们有一个典型的分类问题，我们在空间中有一组点，每个点被分配一个类标签。如果一条直线(或 n 维空间中的一个超平面)可以将这两类分开，那么我们就有一个线性可分问题。另一方面，如果一条直线不足以划分这两类，那么我们就有一个非线性可分问题。下图显示了二维空间中的数据。每个点被分配一个红色或蓝色的类标签。左图显示了一个线性可分问题，该问题需要一个线性边界来区分两类问题。右图显示了一个非线性可分问题，需要一个非线性决策边界。

对于三维空间，线性决策边界可以用平面方程来描述。对于 n 维空间，线性决策边界由超平面方程描述。

3. 为什么 Sigmoid函数在神经网络中很重要？

如果我们在神经网络中使用线性激活函数，那么这个模型只能学习线性可分问题。然而，只要在隐藏层中增加一个隐藏层和一个 Sigmoid激活函数，神经网络就可以很容易地学习一个非线性可分问题 。使用非线性函数产生非线性边界，因此，Sigmoid函数可以用于神经网络学习复杂的决策函数。

在神经网络中，可以用作激活函数的非线性函数必须是一个单调递增 的函数。例如，sin (x)或 cos (x)不能用作激活函数。另外，激活函数应该定义为任意处 ，并且在实数空间中任意处都是连续的 。这个函数还要求在整个实数空间上是可微 的。

通常，反向传播算法使用梯度下降法学习神经网络的权重。为了得到这个算法，需要对激活函数进行求导数。而由于Sigmoid函数是单调的，连续的，到处可微的 ，再加上它的导数可以用它自己来表示 的特性，使得当使用反向传播算法时，很容易推导出学习神经网络中的权重的更新方程。