怎么求导来着?别费劲了,试试这个Python的通用求导法

小詹学Python

共 2010字,需浏览 5分钟

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2021-12-18 10:19

今天的CSDN问答专栏里出现了一个实战中遇到的问题:现有两组数据,一组是时间序列,一组是对应时间序列的旋转角度,请问怎样计算某一时刻的角速度呢?
时间(s)角度(°)
1927.085
19310.497
19414.019
19517.683
19621.487
19725.403
19829.402
19933.467

显然,这是一个求导即可解决的问题。如果将时间记作t,将旋转角度记作θ,那么θ就是t的函数:

对上式求导,就得到角速度v对时间t的函数:

通常,我们把第1个公式叫做原函数,把第2个公式叫做导函数。有了原函数,利用六大基本初等函数的求导公式,或者应用复合函数求导法则,一般都可以得到导函数。
然而,本问题的原函数f(t)在哪里呢?我们手头有的,不过是两组离散的测量数据而已。漫说f(t)不见踪影,就算f(t)已经存在,倘若不是基本初等函数的话,恐怕大多数程序员也早已忘记如何求导了吧?
看起来真的是山穷水尽无从下手了。不过呢,不用担心,今天推荐一个通用的求导方法,可以帮助程序员彻底摆脱求导的困惑。这个通用方法有两个步骤:第一步是通过离散数据找到原函数,第二步是不依赖于求导公式和技巧就可以得到导函数,无论原函数有多么复杂。

1. 寻找原函数

从两组离散数据中找到它们之间的内在关系,是一个回归问题,而数据插值就是对回归函数的应用。这启发了我从scipy的插值问题中寻找回归函数。为了使方法更具通用性,下面的代码用自变量x代替时间t,用因变量y代替旋转角度θ,借助scipy模块的一维插值函数interp1d,轻松得到了本文开始给出的两组数据间隐含的函数关系。
>>> import numpy as np
>>> from scipy import interpolate
>>> _x = np.linspace(192,199,8)
>>> _y = np.array([7.085,10.497,14.019,17.683,21.487,25.403,29.402,33.467])
>>> f = interpolate.interp1d(_x, _y, kind='cubic')
这段代码最后得到的f,就是旋转角度对于时间的函数,自变量的值域范围限定在原始的时间数据的变化范围内。现在我们可以用它来计算192~199范围内任意时刻的旋转角度了。
>>> f(193.3)
array(11.54026091)
>>> f(193.35)
array(11.71517478)
>>> f(193.351)
array(11.71867619)
分别输入193.3、193.35、193.351等时刻,简单测试了一下,看上去还都挺象那么回事儿。

2. 求解导函数

原函数找是找到了,却犹抱琵琶半遮面,究竟什么模样,我们还是不得而知。没关系,下面这个通用的求导方法根本不在意原函数长什么样,只要原函数是真实存在的,就足够了。这个方法的原理,就是令自变量x在某处有一个极小的增量dx,将因变量y的增量dydx之比近似视为函数在该处的导数。这里默认dx=1.0X10的-10次方,如有必要,还可以将其设置为更小的数值。
>>> def get_derivative(f, delta=1e-10):
        """导函数生成器"""
        def derivative(x):
            """导函数"""
            return (f(x+delta)-f(x))/delta
        return derivative
这不是一个闭包函数吗?熟悉闭包的读者一眼就会看出来。没错,导函数生成器就是一个闭包函数,只要告诉它原函数,它就返回对应的导函数。用刚才得到的旋转角度关于时间的原函数来测试一下,轻松得到其导函数,也就是旋转角速度关于时间的函数。
>>> fd = get_derivative(f)
用这个导函数计算一下193.5和195.8两个时刻的角速度:
>>> fd(193.5)
3.590830143540664
>>> fd(195.8)
3.8961776076555026
至此,问题得解。

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