广义卡尔曼-布什滤波器详细推导过程
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· 2024-04-30
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1. Kalman-Bucy滤波器及系统背景
Kalman-Bucy滤波器本质上是一种针对线性系统的滤波器，可以在系统中存在高斯白噪声时对系统的内禀信号进行滤波，从而得到相对纯净、相对接近内禀信号的测量信号。
设滤波器的输出信号（亦即测量信号）为Y(t)，滤波器的输入信号（即系统的内禀信号，或称有用信号）为X(t)。滤波器的作用，就是将系统中的状态量X(t)在噪声影响下，借助测量值Y(t)，正确估计出来系统中的内禀（有用）信号。
系统中的有用信号可以表示为
另外，假设有用信号初值的期望已知：
方差已知：
再设系统的输出信号Y ( t ) \mathbf{Y}(t)Y(t)具有如下形式
设滤波器的滤波误差为
滤波器的设计应当满足如下条件，使得滤波器得到的状态估计量为无偏的，且估计误差的均方差
最小。
2. 系统中相关关系整理
滤波器的任务，就是根据测量值Y(t)得到状态量X(t)的估计，且该估计为无偏的和最小误差均方差的。
3. 公式推导
(1) 无偏估计条件
为满足无偏估计的条件，需要有
对式(3)两边取期望有
代入式(5)并根据式(4)有
另一方面，对式(1)两边取数学期望有（考虑到噪声的期望为0）
根据式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等号右边应该相等，那么
或
反代回式(3)，得到滤波器的结构
(2) 最小误差均方差条件
最小误差均方差条件表示为
对误差求导有（用到式(2)(9)）
其中
(3) 误差的方差条件
这里不加证明地给出如下结论：
(5) 矩阵迹的求导
为了求解式(15)，需要先介绍一些涉及到矩阵迹的求导公式
参照式(14)右边的各项，先得出如下项的迹的导数：
把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得
(6) 两个噪声之间的特殊情况
(7) 滤波器的结论
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