关于卡尔曼及卡尔曼增益的理解【精】

提到卡尔曼，不得不说一个故事：

片绿油油的草地上有一条曲折的小径，通向一棵大树。一个要求被提出：从起点沿着小径走到树下。

“很简单。” A说，于是他丝毫不差地沿着小径走到了树下。

现在，难度被增加了：蒙上眼。

“也不难，我当过特种兵。” B说，于是他歪歪扭扭地走到了树旁。“唉，好久不练，生疏了。” （只凭自己的预测能力）

“看我的，我有 DIY 的 GPS！” C说，于是他像个醉汉似地歪歪扭扭的走到了树旁。“唉，这个 GPS 没做好，漂移太大。”（只依靠外界有很大噪声的测量）

“我来试试。” 旁边一也当过特种兵的拿过 GPS, 蒙上眼，居然沿着小径很顺滑的走到了树下。（自己能预测+测量结果的反馈）

“这么厉害！你是什么人?”

“卡尔曼 ! ”

“卡尔曼？！你就是卡尔曼？”

众人大吃一惊。

“我是说这个 GPS 卡而慢。

总结就是预测+测量更新。

卡尔曼滤波的测量更新部分是由最小二乘推导而来。

今天主要说明卡尔曼增益的Kt如何去理解？

卡尔曼主要来处理如下两个来源的数据：

(1)根据模型来预测出的数据。（预测）

(2)传感器观测到的数据。（观测）

核心：

K越小越相信你的预测（1）中的估计，

K越大越相信你的观测（2）中的观测。

K的值和传感器的精度有关。依赖于按个传感器更缺。

我们从另一个角度理解卡尔曼滤波算法，假设你的传感器和预测模型的噪声均满足正高斯正态分布，看下面图片：

整理后得到上述的式子。我们会得到如下分析：

(1)δp越大时，k越大，这样对于预测来说它的噪音的不确定性变大，所以我们相信更传感器的测量值

(2) δp越小的时候，k越小，这样对于预测来说它的噪音不确定性变小，所以我们更相信预测的值。

现在，我们把一维推广到高维，用矩阵表示：

比如高维情况下卡尔曼增益K=P*Ht*（R+HPHt）（图中绿框地方），这个式子与正好对应。

P是预测的方差，H是观测矩阵，R是传感器测量满组方差。其余也是一一对应的。

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编辑：古月居