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本文主要介绍了栅线投影方法的基本原理-三角测量与线性对应关系，以及栅线投影系统标定的细节。下一篇文章我们将介绍傅里叶与相移两种相位求解方法。

三角关系示意图

基本光路图

其中 为 点至 的距离，在后文中，形如 的表达式均代表距离。考虑物体上的任意一点 ,其中点 与点 分别为相机和投影仪通过点 在虚平面上的投影。由于 相似于 ，故有以下比例关系：

故我们可以从方程中解出高度 的表达式，如下：

由于在实际测量中， 远小于 ，故可以忽略其在分母中的存在，将上述公式简化如下：

若投影仪投射出的光栅图案具有固定的周期，由于平面（理想的DLP微镜阵列）至平面的投影为线性映射，故图案映射在虚平面上也具有固定的周期。在投影的图案中引入线性的相位                     信息，综上所述 与 也呈线性关系，即：

其中 为B点与A点之间的相位差距， 为Q点与A点之间的相位差距。注意到此理想情况下，以虚平面为基准面，当 时， ，故其为常数项为0的线性关系。而在具体实验系统标定时，所设置的标定零平面与虚平面往往不重合，其表达式之间存有一个线性转化关系，故实际的 与 的线性关系常数项不为0，即可进一步表达为：

其中 为标定零平面上对应点的参考相位，k与b为系统的测量标定系数。上式表明，对于物体表面任意一点的高度 ，与相机采集到的投影图案所对应的相位值是呈近似线性关系的。故在测量中首先对测量系统的k与b进行标定，进而只需要求解出物体表面每一点的相位值即可解出物体表面的三维形貌。

当前对于测量系统标定的方法主要有两类。第一类是将相机、投影仪的内参与外参全都标定出来，即分别明确投影仪和相机在空间内的3个空间坐标，3个光轴方向坐标和一个传感器角度坐标，通过标定出这些参数，则能够直接将栅线相位和高度之间的关系计算出来。第二类是平面标定，即通过一个平面标定板，对空间不同位置进行多次标定，从而建立相位差值和高度之间的关系。两种方法相比，虽然平面标定需要一个高精度的平移台做硬件支撑，但其操作简单，计算精度高，是比较常用的一种方法。投影仪相机联合标定将在以后的文章中叙述。

同坐标相位标定方法示意图

对于相机的某一个像素而言，当标定板位于 和 位置时采集的相位为 和 。注意这里的相位是投影仪的总相位，即通过投影仪投射一根标准亮条纹确定真实相位所在的周期，再以该周期为起始区域向四周解包裹得到所用的相位。对于被测量实际物体上的一点，由于相似关系有：

故对于该点处实测到的相位 ，可求算处其相对于标定零位面的高度为：

等相位坐标标定方法示意图

与前文方法所不同的是，先前为固定对相机的每个像素进行进行标定，本方法的实质为固定对投影仪的每个像素进行标定。由于每个像素所对应的相位值是一定的，故将其称为等相位坐标标定。对于某一相位值 而言，其对应在两个标定平面上的位置分别为 与 。同样利用相似性比例关系有：

故对于该点处实测到的相位 ，记录其像素位置，再根据标定找出相同相位对应的位置 与 ，即可求算处其相对于标定零位面的高度为：

本标定方法的相位值，与前文方法相同，同样通过投影仪投射一根标准亮条纹确定真实相位所在的周期，再以该周期为起始区域向四周解包裹得到所用的相位。相位 与其所在的位置 呈一定线性关系。为了提高标定精度，一般同样增加多个标定平面，利用最小二乘技术直接去将线性参数进行拟合。

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