【图解算法】螺旋矩阵、旋转矩阵、“之”型输出、矩阵找数
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2019-12-30 23:26
这几道矩阵相关的题目比较考察全局观,如果陷在思考局部点如何移动,那么在面试中将很难快速解出题目。
问题描述
转圈打印矩阵。【leetcode-54-螺旋矩阵】
旋转正方形矩阵。【leetcode-48-旋转图像】
“之”字型打印矩阵。
在行列都排好序的矩阵中找数。【特定的数据】
转圈打印矩阵
【题目】 给定一个整型矩阵
Matrix,请按照顺时针转圈的方式打印它。例如:
打印结果为:
1,2,3,4,8,12,16,15,14,13,9, 5,6,7,11,10
转圈打印【要求】 额外空间复杂度为O(1)。
【解法说明】
如果我们将眼光局限于坐标每次该如何移动,如何判断矩阵中哪些点已经输出,哪些点还没有输出,那么你就是进坑里了,这种方法不是不行,但是在面试的场景下,扣各种边界会导致你非常容易出错。那么有什么办法可以快速解决呢?其实很简单,从全局来看,我们实际上是在绘制一个又一个的矩形边界:
将问题转化为绘制矩形边界是不是觉得问题一下子简单了很多,我们只要分别打印四个边界,就能打印出一个矩形;接下来我们考虑外层和内层如何衔接:
如下图所示,我们每次绘制某一边界时(如矩形的上边界),不要把最后一个点绘制了,而是作为下一个边界的起点,那么最终结束位置在5
,与下一圈的6
正好衔接:
看到这里大家想必已经知道怎么做了,是的,我们只需控制左上角和右下角两个点的坐标,然后每跑完一圈,坐标进行相应的增加或减少即可:
控制对角坐标到这里,思路已经基本出现了,我们在外层写一个循环控制对角坐标的变化,内部则是打印一个矩形的外边界的函数:
void circlePrint(vector<vector<int>> &matrix) {
if (matrix.empty()) return; // 空数组判断
int a = 0, b = 0, c = matrix.size() - 1, d = matrix[0].size() - 1;
while (a <= c && b <= d) {
edgePrint(a++, b++, c--, d--, matrix); // 打印(a,b)和(c,d)所在的矩形边界
}
}
关于打印矩形边界,还需要考虑两种边界情况:
打印矩阵的边界考虑至此,我们就可以很轻松地写出代码了:
void edgePrint(int a, int b, int c, int d, vector<vector<int>> &matrix) {
if (a == c) { // only one row
for (int j = b; j <= d; ++j) {
cout << matrix[a][j] << " ";
}
} else if (b == d) { // only one column
for (int i = a; i <= c; ++i) {
cout << matrix[i][d] << " ";
}
} else {
for (int j = b; j < d; ++j) { // print up edge
cout << matrix[a][j] << " ";
}
for (int i = a; i < c; ++i) { // print right edge
cout << matrix[i][d] << " ";
}
for (int j = d; j > b; --j) { // print down edge
cout << matrix[c][j] << " ";
}
for (int i = c; i > a; --i) { // print left edge
cout << matrix[i][b] << " ";
}
}
}
旋转正方形矩阵
【题目】 给定一个整型正方形矩阵
Matrix,请把该矩阵调整成顺时针旋转90度
的样子。
【要求】 额外空间复杂度为O(1)。
【解法说明】注意到题目要求我们的空间复杂度为O(1)
,因此,我们不能借助辅助矩阵,只能原地调整。咋一看好像无从下手,但只要使用我们前面提到过的全局思想,我们可以首先将问题拆解为将一个矩形边界旋转90度:
代码如下:
void rotateMatrix(vector<vector<int>> &matrix) {
int a = 0, b = 0, c = matrix.size() - 1, d = matrix[0].size() - 1;
while (a <= c && b <= d) {
rotateEdge(a++, b++, c--, d--, matrix); // 旋转指定对角所在正方形的边界
}
}
接下来,我们要解决的就是如何将一个矩形边界旋转的问题了。
我们先考虑四个角:
边界旋转的四个角再考虑第二个点:
旋转边界的第二个点聪明的朋友可能已经发现了,这个跟遍历某一个边界的一边非常像,我们原地交换四个点只需要5步,再加上遍历某一边,旋转一个边界就此完成。
代码如下:
void rotateEdge(int a, int b, int c, int d, vector<vector<int>> &matrix) {
for (int i = 0; i < d-b; ++i) { // 每一行要剔除最后一个点
int temp = matrix[a][b + i]; // 暂存左上角的点
matrix[a][b + i] = matrix[c - i][b]; // 把左下角的点放到左上角
matrix[c - i][b] = matrix[c][d - i]; // 把右下角的点放到左下角
matrix[c][d - i] = matrix[a + i][d]; // 把右上角的点放到右下角
matrix[a + i][d] = temp; // 把暂存的左上角的点放到右上角
}
}
“之”字型打印矩阵
【题目】 给定一个矩阵matrix,按照“之”字形的方式打印这 个矩阵,例如:
“之”字型打印“之”字形打印的结果为:
1,2,5,9,6,3,4,7,10,11, 8,12
【要求】 额外空间复杂度为O(1)。
【解法说明】和之前的题目类似,一旦我们陷于考虑局部的坐标如何变换,就会陷入细节边界之中,难以快速解决这道题目。我们换个思路,将整个过程切分为:给定两个对角点坐标,遍历对角线,然后寻找两个对角点坐标的变化规律。
给定两个对焦点坐标,遍历该对角线,实现起来非常简单:
void printDiagonal(int a, int b, int c, int d, vector<vector<int>> &matrix) {
while (a >= c && b <= d) { // 从左下到右上的遍历方式
cout << matrix[a--][b++] << " ";
}
}
遍历对角线图中的(a, b)
为对角线的左下角顶点,其中a、b
均是变量,从左到右分别为每次变换的位置;一开始(a, b)
和(c, d)
都是点1
,即matrix[0][0]
;我们观察两个点的变换轨迹,可以发现,(a, b)
先向下走,到底部再向右走;而(c, d)
先向右走,到达最右边才向下走。
与此同时,每完成一次对角线遍历,我们发现,遍历的方向会发生改变,因此我们使用一个bool
类型的isUp
来记录状态。
因此,对角线函数需要进行修改:
void printDiagonal(int a, int b, int c, int d, vector<vector<int>> &matrix, bool isUp) {
if (isUp) {
while (a >= c && b <= d) {
cout << matrix[a--][b++] << " ";
}
} else {
while (a >= c && b <= d) {
cout << matrix[c++][d--] << " ";
}
}
}
遍历所有对角线:
void ZigZagPrint(vector<vector<int>> &matrix) {
bool isUp = true;
int a = 0, b = 0, c = 0, d = 0;
while (c != matrix.size()) { // c 如果为 n,说明右上角的对角线顶点已经到达矩阵的右下角,所有对角线都被遍历了
printDiagonal(a, b, c, d, matrix, isUp);
isUp = !isUp;
b = (a == matrix.size() - 1) ? b + 1 : b; // 注意,我们要先更新b,然后才更新a
a = (a == matrix.size() - 1) ? a : a + 1;
c = (d == matrix[0].size() - 1) ? c + 1 : c; //同样的,先更新c,再更新d
d = (d == matrix[0].size() - 1) ? d : d + 1;
}
}
在行列都排好序的矩阵中找数
【题目】 给定一个有N*M
的整型矩阵
Matrix和一个整数K
, Matrix的每一行和每一 列都是排好序的。实现一个函数,判断K 是否在 Matrix
中。例如:
如果K为5,返回true;如果K为10,返回false。
【要求】 时间复杂度为O(N+M)
,额外空间复杂度为O(1)。
【解法说明】如果我们遍历完整个矩阵,需要O(N^2)
,而题目中要求O(N+M)
的复杂度,因此我们就需要根据特殊的数据布局来考虑更优的解法。懂得二分法的朋友肯定知道,我们在一个排好序的数组中找一个数,从中间找起是最快的;这里也是类似,不过这里的中间在哪里呢?
事实上,考虑数据的分布,左上角必然是最小值,右下角必然是最大值,而中间线,正好在左下角到右上角的对角线上:
从中间线出发假设我们找K=5
,从右上角开始,发现4 < 5
,所以向下找,为什么?因为行列都是按顺序排好的,4左边的数都是比4小的,既然5比4大,那么在左边就不可能找到5了:
接下来我们继续比较,发现8 > 5
,所以向左找,因为下面不可能有5了:
按照上面的方式,我们完成搜索:
找到5,返回true我们仔细考虑下过程,即使K
在左下角,我们从右上角开始找,那么最终耗费的时间也只是O(N+M)
,N 为宽度,M 为长度
。
代码实现:
bool findKInSortedMatrix(vector<vector<int>> &matrix, int k) {
int a = 0, b = matrix[0].size() - 1;
while (a <= matrix.size() - 1 && b >= 0) {
if (matrix[a][b] == k) { // found
return true;
} else if (matrix[a][b] < k) { // 如果当前点小于 K,向下走
a++;
} else { // 如果当前点大于 K,向左走
b--;
}
}
return false; // not found
}
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