矩阵与矩阵乘积简介

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【导读】向量是存储和操作数据的一种有用的方法。可以用箭头或数字数组来表示它们。然而，创建更复杂的数据结构是有帮助的，而这正是需要引入矩阵的地方。

矩阵它们是正方形或矩形数组，包含按两个维度：行和列。你可以把它们看作是一个电子表格。通常，你会在数学上下文中看到术语矩阵，在Numpy上下文中看到二维数组。

在矩阵的上下文中，术语维度不同于向量表示的维数（空间维数）。当我们说矩阵是二维数组时，意味着数组中有两个方向：行和列。

矩阵表示如下：

矩阵A有两行两列，但你可以想象矩阵有任何形状。更一般地说，如果矩阵有m行和n列，并且包含实值，可以用以下符号来刻画它：「A」∈ℝ（m×n）。

你可以使用不带粗体的矩阵名称引用矩阵中的元素，但是后面需要跟着行索引和列索引。例如，表示第一行和第二列中的元素。

按照惯例，第一个索引用于行，第二个索引用于列。例如，上面提到的例子位于矩阵A的第二行和第一列，因此它被表示为

矩阵分量可以写如下：

图1：矩阵是二维数组。行数通常用m表示，列数用n表示。

数组的形状给出了每个维度中元素的数量，如图1所示。由于此矩阵是二维的（行和列），因此需要两个值来描述形状（按此顺序排列的行数和列数）。

让我们先用这个方法np.array()创建一个2维numpy数组

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4],
              [3.0, 4.5, 2.3],
              [12.2, 6.6, 8.9],
              [1.8, 1., 8.2]])

注意，我们使用数组中的数组（[[]]）来创建二维数组。这与创建一维数组的不同之处在于所使用的方括号数。

与向量一样，可以访问Numpy数组的shape属性：

A.shape

你可以看到该形状包含两个数字：它们分别对应于行数和列数。

要获得矩阵元素，需要两个索引：一个引用行索引，一个引用列索引。

使用Numpy，索引过程与向量的索引过程相同。你只需要指定两个索引。我们再来看下面的矩阵A：

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4],
              [3.0, 4.5, 2.3],
              [12.2, 6.6, 8.9],
              [1.8, 1.3, 8.2]])

可以使用以下语法获取特定元素：

A[1, 2]

[1，2]返回行索引为1、列索引为2（以零为基础的索引）的元素。

要获得完整的列，可以使用冒号：

A[:, 0]

array([ 2.1, 3. , 12.2, 1.8])

这将返回第一列（索引0），因为冒号表示我们需要从第一行到最后一行的元素。同样，要获取特定行，可以执行以下操作：

A[1, :]

array([3. , 4.5, 2.3])

能够操纵包含数据的矩阵是数据科学家的一项基本技能。检查数据的形状对于确保数据的组织方式非常重要。了解使用Sklearn或Tensorflow等库所需的数据形状也很重要。

对于Numpy，如果数组是向量（1D Numpy数组），则shape是单个数字：

v = np.array([1, 2, 3])
v.shape

如果是矩阵，则形状有两个数字（行和列中的值的数目）。例如：

A = np.array([[2.1, 7.9, 8.4]])
A.shape

形状的第一个数字是1。使用两个方括号[[和]]，可以创建一个二维数组（矩阵）。

矩阵乘积

你将在数据科学基础数学中学习乘积。矩阵的等价运算称为矩阵乘积或矩阵乘法。它接受两个矩阵并返回另一个矩阵。这是线性代数中的一个核心运算。

矩阵乘积的更简单的情况是介于矩阵和向量之间（可以将其视为矩阵乘积，其中一个向量只有一列）。

说明了矩阵和向量之间乘积的步骤。让我们考虑矩阵的第一行。在向量（值3和4）和考虑的行（值1和2）之间进行点积。第一行的第一个值的与第一列的第一个值(1⋅3)和第一行第二个值与第一列的第二个值(2⋅4)。它给你计算的矩阵的第一个元素是(1⋅3 + 2⋅4 = 11)。

你可以看到矩阵乘积与点积相关。这就像把矩阵A分成三行并应用点积（如数据科学的基本数学）。

让我们看看它是如何与numpy一起工作的。

A = np.array([
    [1, 2],
    [5, 6],
    [7, 8]
])
v = np.array([3, 4]).reshape(-1, 1)
A @ v

array([[11], [39], [53]])

请注意，我们使用了reshape函数将向量重塑为一个2乘1的矩阵（-11告诉Numpy猜测剩余的数字）。如果没有它，你将以一维数组结束，而不是这里的二维数组（只有一列的矩阵）。

还有另一种方法来考虑矩阵乘积。你可以考虑向量包含了对矩阵的每一列加权的值。它清楚地表明，向量的长度需要等于应用向量的矩阵的列数。

下图可能有助于将这个概念形象化。可以将向量值（3和4）视为应用于矩阵列的权重。前面看到的标量乘法规则会产生与以前相同的结果。

使用最后一个示例，可以编写A和v之间的乘积，如下所示：

这一点很重要，因为正如你在数据科学基础数学中看到的更多细节，它表明Av是A的列的线性组合，系数是v的值。

另外，你可以看到矩阵的形状和向量的形状必须匹配才能得到乘积。

矩阵乘积类似于矩阵向量积，但应用于第二个矩阵的每一列。

使用Numpy，可以精确地计算矩阵乘积：

A = np.array([
    [1, 2],
    [5, 6],
    [7, 8],
])
B = np.array([
    [3, 9],
    [4, 0]
])

A @ B

array([[11, 9], [39, 45], [53, 63]])

与矩阵向量积一样，第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相匹配。

结果矩阵的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。

我们试试吧。

A = np.array([
    [1, 4],
    [2, 5],
    [3, 6],
])

B = np.array([
    [1, 4, 7],
    [2, 5, 2],
])

矩阵A和B有不同的形状。让我们计算他们的乘积：

A @ B

array([[ 9, 24, 15], [12, 33, 24], [15, 42, 33]])

你可以看到A⋅B的结果是一个3乘3的矩阵。这个形状来自A（3）的行数和B（3）的列数。

可以使用矩阵与其转置矩阵之间的乘积计算数据集的协方差矩阵。然后，除以观测值（或贝塞尔修正值减去1）。但是你需要事先确保变量的中心在零附近（这可以通过减去平均值来实现）。

让我们模拟以下变量x、y和z：

x = np.random.normal(10, 2, 100)
y = x * 1.5 + np.random.normal(25, 5, 100)
z = x * 2 + np.random.normal(0, 1, 100)

使用Numpy，协方差矩阵为：

np.cov([x, y, z])

array([[ 4.0387007 , 4.7760502 , 8.03240398], [ 4.7760502 , 32.90550824, 9.14610037], [ 8.03240398, 9.14610037, 16.99386265]])

现在，使用矩阵乘积，首先进行堆叠：

X = np.vstack([x, y, z]).T
X.shape

你可以看到变量X是一个100×3的矩阵：100行对应于观察值，3列对应于特征。然后，把这个矩阵减去均值：

X = X - X.mean(axis=0)

最后，计算协方差矩阵：

(X.T @ X) / (X.shape[0] - 1)

array([[ 4.0387007 , 4.7760502 , 8.03240398], [ 4.7760502 , 32.90550824, 9.14610037], [ 8.03240398, 9.14610037, 16.99386265]])

你会得到一个协方差矩阵，与函数np.cov中得到的协方差矩阵相似，这一点很重要，要记住一个矩阵的转置乘积对应于协方差矩阵。

两个矩阵之间乘积的转置定义如下：

例如，取以下矩阵A和B：

A = np.array([
    [1, 4],
    [2, 5],
    [3, 6],
])
B = np.array([
    [1, 4, 7],
    [2, 5, 2],
])

你可以检查（AB）^T和B^T A^T的结果：

(A @ B).T

array([[ 9, 12, 15], [24, 33, 42], [15, 24, 33]])

B.T @ A.T

array([[ 9, 12, 15], [24, 33, 42], [15, 24, 33]])

这可能是令人惊讶的首先，两个向量或矩阵在括号中的顺序必须改变，以满足等价性。我们来看看操作的细节。

下图显示，如果改变向量和矩阵的顺序，矩阵乘积的转置等于转置的乘积。

可以将此属性应用于两个以上的矩阵或向量。例如，