0.00...1是个什么数?
数学算法俱乐部
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· 2020-09-20
日期:2020年09月18日
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来源:搜狐网
在一个集合A上定义一个二元关系“≤”,如果满足:
自然数集、实数集在数的“小于等于”关系下都是全序集,数的“小于等于”关系就是这些集合上的全序关系。对于集合{{1,2,3},{1}, {2}},包含关系“⊆”就不是全序关系,因为包含关系虽然满足上述的前三条,但在这个特殊集合上它不满足第四条,{1}和{2}就没有谁包含谁的关系。
如果一个全序集(A,≤),它的任何非空子集都有最小元素,则称≤为良序关系,A在“≤”下为良序集。自然数就是一个典型的良序集,实数集在数的大小意义下就不是良序集,不存在大于0的最小元素。
首先,因为是良序,那么A中有唯一一个最小元素,记为a0,去掉a0之后还有一个最小元素,记为a1,依此类推,可得一列元素an,使得
a0≤a1≤a2≤a3≤...
因为an各不相同,所以可以按照通常的习惯把所有的"≤"改成"<"。任何不在这个序列中的元素(如果有的话)都比这列元素中的任何一个大。从A中去掉所有的an,如果还能得到一个非空子集的话,那么这个子集中还有最小元素。刚才标记an序列的时候所有的自然数都用上了,那么这个元素就赋于一个新的标号:记为aω,依此类推,又得到一列元素a(ω+n),所以现在A中的前面一部分元素在"<"的顺序下排成这个形状:
这里的元素下标就是序数。序数,就是标定良序集中元素顺序的标号,是自然数的一种推广。初步的,我们得到最前面一些序数的形状:
1) 空集 Ø 是序数;
2) 如果a是序数,则a的后继 a∪{a} 也是序数;
3) 如果A是由序数构成的集合,那么A中所有元素的并集也是序数;
4) 所有的序数都由上述三条界定。
由上面的定义,我们可以写出开头的一些序数如下:
Ø,Ø∪{Ø}={Ø},{Ø}∪{{Ø}}={Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},...
将开头的这些有限序数分别简记为1,2,3,4,...,n,它们就是自然数在集合论中的定义。由此可见,
0=Ø,1={Ø}={0},2={Ø,{Ø}}={0,1},3={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}={0,1,2}...n={0,1,2,...,n-1},n+1=n∪{n}={1,2,3,...,n}。
这些自然数有一个共同的特点:都是由空集通过定义中的第二条生成的,每一个都既属于后一个,又包含于后一个。所有的自然数可以构成集合,这是公理集合论的假设。因此,根据序数的定义条款3),所有自然数的并集(记为ω)也是序数。那么所有自然数的并集是什么呢?
注意到任何一个自然数n,n是n+1的元素,因此n∈ω,反过来任意ω中的元素都属于某个自然数,而自然数的元素也是自然数,所以ω就是自然数集本身。反复应用上面的定义,就可以得到类似于上面的那一长串序数。由序数的定义,还可以有超限归纳法,并证明,对于任何一个序数集,包含关系"⊆"是一个良序关系,并且∈是⊆的严格序关系,既 a∈b等价于a⊆b且a≠b。
下面证明:任何一个良序集都可以用序数为元素按顺序标号。设X是良序集,用0标记最小元,1标记第二小的元素,...,假设无法用序数为X中所有元素标号,那么能够获得标号的元素和无法获得标号的元素分别组成X的两个子集,分别记为Y和 Z,Y中的元素都比Z中的小。若Y中有最大元,标号为a,那么为Z中最小元标号a∪{a},由定义,它也是序数,大于所有Y中的标号,矛盾;若Y中无最大元,那么Y中所有元素标号构成集合,此为序数构成的集合,所有序数之并集也是序数,这个序数未出现在Y的标号中,(因为假设它是Y某元素的标号,Y中无最大元,那么Y中总能找到比这个序数大的标号,即真包含这个序数的标号,矛盾)把Z中最小元素标记为此序数,也与假设矛盾。
至于是否有不可数无穷个序数,是否每个集合都能够定义良序关系,这里不去探讨了,可以参看公理集论的内容。
▋第一个问题:0.00...1*10=?
— THE END —
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