数学家如何做到“十赌十赢”?

数学算法俱乐部

日期 ： 2021年01月26日       

正文共 ：2660字

来源 ： 超级大数据

赌场不怕你赢，就怕你不来，因为赌场游戏基本都是“久赌必输”。很多玩家迷信“运气”，而经营赌场的人相信概率，这就是输家和赢家的差别。

赌场应该怎么玩？

例如轮盘赌（见下图），博彩中玩家可以押任何一个数字，如果转盘上的小球正好停在这个数字上，赌场赔35倍。听着很诱人对吧？电影《卡萨布兰卡》中那个从欧洲逃难出来的小青年接连押中几手22，去美国的旅费就有了。实际情况如何呢？我们来简单分析一下。

如果只有1-36这36个数字，那么玩家每次押1元，平均每36把赢一次，赢的35元正好抵消另外35把输的钱。但赌场在轮盘左边加了个“0”，玩家的赢面变成了1/37，赢的35元不足以抵消另外36把输的钱，赌场占据了1/37 = 2.70%的概率优势，也就是说玩家每押100元，平均要输2.7元。

这还是“仁慈”的欧洲式轮盘赌，美国人觉得还不够黑，又加了个“00”。现在平均38把押中一次，玩家的劣势扩大了到5.3%。

除了押单个数字，轮盘赌还有押红黑等其他玩法。无论是1赔35的单个数字，还是1赔1的押红黑，赌场的赢面都一样。但两者之间仍有个重要差别：押单个数字的输赢波动显然比押红黑大的多。

此处先简单提一句：赢面和波动性是赌博和投资中极为关键的两点。“久赌必输”的赌博最好不要碰，实在要玩就挑输赢波动性大的；“久赌必赢”的投资则应该选波动性小的。关于这个原理，后文将详细讨论。

回到赌博，绝大部分赌场游戏都设计的和轮盘赌类似：赌场拥有概率优势。这些游戏中，玩家如果只玩几手还可能靠“运气”赢点钱，长期玩下去几乎必输，数学中称之为“大数定理”（Law of Large Numbers）。然而赌场机关算尽，还是被数学家找到了一处破绽。

赌博天才横世出

1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美国数学家利用刚出现不久的计算机找到了21点游戏中的机会，发展出一套通过计牌（card counting）打败赌场的方法。索教授理论付诸实践，用自己的计牌法连连大胜赌场，很快上了黑名单，眼看赌不成了，于是索某人干脆就写了一本书！然后大彻大悟，上华尔街发财去了，后来又在对冲基金领域闯出了一片天地。索某达人也！

这本书就是《战胜庄家》（Beat the Dealer）——狂销70万册，荣登《纽约时报》畅销书榜。这就是成为当时赌徒们最爱看的一本书了。

索普计牌法的原理并不难。先讲讲21点的规则：玩家和庄家（赌场）对赌，看谁手中牌的点数之和更接近（但不能超过）21点。10，J，Q，K都算十点，2至9 按各自点数计算，A可以算1点也可以算11点。例如下面的一手牌可以算8点，也可以算18点。

牌局开始，玩家和庄家各发两张牌，庄家的牌一明一暗（例如下图）。然后玩家先做决定：可以抓牌，做加倍等特殊行动，或在任何时候选择“停”。如果玩家超过21点（爆牌）就直接输了，否则“停”后轮到庄家行动。庄家不能“见机行事”，只能按固定规则：手中的牌达到17点或以上必须“停”，否则必须抓。最后双方比谁的牌更接近21点。

此外还有个特殊规定：一张A和一张十点牌（10，J，Q，K）叫“黑杰克”（Blackjack），拿到者直接取胜。如果玩家拿到黑杰克，可赢取1.5倍筹码。庄家拿到黑杰克只能赢取1倍筹码。

很明显，21点游戏中庄家和玩家各有优势。庄家的优势在“后发制人”：玩家如果先爆牌，庄家可以不战而胜。而玩家的优势在于灵活机动，可以根据自己的牌和庄家暴露的那张牌决定战术。此外，黑杰克3：2的赔率也有利于玩家。

十点牌和A越多，出现黑杰克的机会越多，也越容易爆牌，玩家“机动灵活”的优势更有价值。反之，3，4，5，6等小牌越多，爆牌的可能性越小，对庄家比较有利。索普时代的21点多用1副或2副扑克牌，当牌刚洗好时，赌场占据0.5%左右的概率优势。妙处在于，随着牌局进行，某些时候大牌和A的比例会变高，概率会转为对玩家有利。索普战胜赌场的方法就是：通过计牌估算概率，当形势有利时下大赌注！

数学家是如何下注的呢？

形势有利时如何下注很需要技巧。押太少了浪费机会，押太多了“牺牲”的风险大增。什么才是不多不少的合适赌注呢？1956年，科学家凯利（John Kelly）就此发表了论文，提出了著名的凯利公式

                             f* = (bp - q) / b
           
其中，f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率，q = 1-p
b = 赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
 
上文中讲到的21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：
 
$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200
 
我知道很多人看到数学公式就头大，但要玩好赌博和投资没法不用到数学。最重要的不在于带公式计算数字，而是要弄明白公式背后真正的“意思”。
 
首先，公式中分子的bp - q 代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。
 
其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。下面三个正期望值的游戏，你看看选哪个：
 
1.      “小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2.      “中博中”：胜率60%，1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3.      “大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
 
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？但是用凯利公式中的“b”一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？说的就是这个了。
 
现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。谁爱玩“大博小”呢？赌场！华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。
 

最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。

从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。

常言道：小赌怡情，大赌伤身。纵使是数学家也不可能永远都是胜利的。你认为呢？

— THE END —

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