理想的光学系统

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· 2022-05-15

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光学系统多用于对物体成像。未经严格设计的光学系统只有在近轴区才能成完善像。由于在近轴区成像的范围和光束宽度均趋于无限小，因此没有很大的实用意义。

实际的光学系统要求对一定大小的物体、以一定宽度的光束成近似完善的像。

“应用光学”所要解决的问题就是寻求这样的光学系统。

为了估计和比较实际光学系统成像质量是否符合完善成像条件，需要建立一个模型，使之满足物空间的同心光束经系统后仍为同心光束，或者说，物空间一点通过系统成像后仍为一点。这个模型称为理想光学系统，它对任意大的物体、以任意宽的光束成像都是完善的。

在均匀透明的介质中，除平面反射镜具有上述理想光学系统的性质外，任何实际的光学系统都不能绝对完善地成像。

理想光学系统理论是在1841年由高斯提出来的。1893年阿贝发展了理想光学系统的理论。理想光学系统理论又称为“高斯光学”，因为在计算理想光学系统各个参量之间的关系常为阶线性方程，也称为“一阶光学”。

理想光学系统处于各向同性的均匀介质中，物空间中的光线和像空间中的光线均为直线。在物空间的一点，对应于像空间的一点，这样的一对点的位置是用光线通过一定的几何关系确定下来的，因而把这种几何关系称为“共线成像”、“共线变换”或“共线光学”。这种“共线成像”理论的初始几何定义可归结为

(1)物像空间的共轭点物空间中每一点对应于像空间中的相应的点，且只对应一个点。这两个对应点称为物像空间的共轭点。

(2)物像空间的共轭线物空间中的每一条直线对应于像空间的相应的直线，而且只对应一条。这两条对应直线称为物像空间的共轭线。

(3)共线成像关系物空间的任意一点位于一条直线上，那么在像空间内的共轭点必在该直线的共轭线上。

由以上定义可以推出：物空间中任一平面对应于像空间中有一共轭平面。物空间中每一同心光束在像空间中均有一共轭同心光束与之相对应。

“共线成像”理论是理想光学系统的理论基础。一般来说，这种共线成像并不一定能满足像与物的相似。为了使像和物在几何形状上完全相似，总是取物平面垂直于光学系统的光轴在实际光学系统的近轴区可以满足共线成像理论。因此，在进行光学系统设计时，往往以其近轴区成像性质来衡量该系统的成像质量。

理想光学系统只作为光学系统的一个理论模型，它不涉及到光学系统的具体结构r、d和n，对于理想光学系统的讨论是根据共线成像理论来研究物和像之间的关系。

首先来研究理想光学系统的一些特定的点和面，它们往往可以完全表示该系统的特性。

1. 焦点与焦平面

图1：焦点与焦平面

根据理想光学系统共线成像的特性，设在物空间有一条和光学系统光轴平行的光线射入到光学系统，则在像空间必有一条光线与之相共轭。

随着光学系统性质的不同，共轭光线可以平行于光轴也可以和光轴交于点。

首先研究后一种情况。如图1所示，O₁和O_k为理想光学系统的第一个面和最后一个面，FO₁O_kF`是光轴，平行于光轴的光线A₁E₁经过光学系统各面折射后，沿G_kF`方向射出，交光轴于F`点。沿光轴入射的光线FO₁没有折射地通过系统仍沿光轴射出。由于像方的出射光线G_kF`和O_kF`分别和物方的入射光线A₁E₁和FO₁相共轭，因此光线G_kF`和O_kF`的交点F`的共轭点应该是光线AE和FO1的交点，显然它位于左方无限远的光轴上，所以F`是物方无限远轴上点的像。所有其他平行于光轴入射的光线均应会聚于点F`，点F`称为光学系统的像方焦点（后焦点或第二焦点）。

如果从像方无限远处射入一束与光学系统光轴平行的光束，同样会聚在物方光轴上一点F，称为光学系统的物方焦点（前焦点或第一焦点），其与像方无限远处光轴上点相共轭。

但应指出，物方焦点F和像方焦点F`不是一对共轭点。

图2：光学系统的焦平面示意图

经过像方焦点F`作一垂轴平面称为像方焦平面，显然这是物方无限远处垂轴平面的共轭面。由物方无限远处射来的任何方向的平行光束，经光学系统后必会聚于像方焦平面上一点B’，如图2(a)所示。通过物方焦点F的垂轴平面称为物方焦平面，它和像方无限远处的垂轴平面相共轭。自物方焦平面上任一点发出的光束经光学系统以后，均以平行光射出，如图2(b)所示。

2. 主点与主平面

图3：主点与主平面

在图3中，延长入射光线A₁E₁与出射光线G_kF`得到交点Q`。同样，在像空间延长光线A`_kE_k与其在物空间的共轭光线G₁F交于点Q，如图3所示。设光线A₁E₁和光线A`_kE_k的入射高度相同，且都在子午面内。

显然，点Q和点Q`是一对共轭点。点Q是光线A₁E₁和FQ交成的“虚物点”，而Q`是光线A₁E₁和FQ的共轭光线A`_kE_k和F`Q`交成的“虚像点”。过点Q和Q`作与光轴垂直的平面QH和Q`H`。显然，这对平面是互相共轭的。在这对平面内的任意共轭线段如QH和Q`H`具有同样的高度，而且在光轴的同一侧，故其放大率为+1。称这对放大率为+1的共轭平面为主平面，QH称为物方主平面（前主面或第一主面），Q`H`称为像方主平面（后主面或第二主平面）。

除入射为平行光束、出射也是平行光束的望远系统外，所有光学系统都有一对主面，其一个主面上的任一段以相等的大小和相同的方向成像在另一个主面上。

主平面与光轴的交点H和H`称为主点。H为物方主点（前主点或第一主点），H`为像方主点（后主点和第二主点），两个主点是相共轭的。

3. 焦距

自光学系统的物方主点H到物方焦点F的距离称为物方焦距（前焦距或第一焦距），用字母f表示。同样，像方主点H'到像方焦点F'的距离称为像方焦距（后焦距或第二焦距），用字母f`表示。

焦距值的正、负是以相应的主点为原点来确定的，如果由主点到相应焦点的方向与光线的传播方向一致，则焦距为正，反之为负。在图3中，f＜0，f`>0。

如果平行于光轴的入射光线的入射高度为h，其共轭光线与光轴的交角为U`，则由三角形Q`H`F`可以得到像方焦距的表示式为

同理,可以得出物方焦距的表示式为

对于理想光学系统，不管其结构（r、d、n）如何，只要知道其焦距值和焦点或主点的位置，其性质就确定了，同时可以方便地用作图或解析的方法求得任意位置和大小的物体经光学系统所成的角。

4. 理想光学系统的二焦距间关系

图4：光学系统焦距间的关系

在图4中，轴上物点A发出的光线AM与光轴交角为U，交物方主面于点M，入射高度为h，AM的共轭光线M`A`交像方主面于点M'，与光轴交角为U`，由直角三角形AMH和A`M`H`，得

或

由于三角形ABF与三角形FNH相似、三角形A`B`F`与三角形Q`H`F`相似，因此可得

将其代入上式中，得

对于理想光学系统，不论U和U`多大、y和y`多大，上式总能成立。当然，对于小孔径、小视场的近轴区，上式也成立，只是用弧度取代角度的正切，得

与拉赫不变量nuy=n`u`y`相比较，可以得出表征光学系统物方和像方焦距之间关系的重要公式：

即光学系统像方焦距f`物方焦距f之比等于相应空间折射率之比的负值。

若光学系统在同一介质中，即n`=n，则两个焦距的绝对值相等、符号相反：

必须指出，若光学系统中包括反射面，则两个焦距之间的关系由反射面的个数决定。

设反射面的数目为k，则可以写成如下更一般的形式：

当n`=n时，

可知折射系统以及具有偶数个反射面的折、反射系统，物方焦距和像方焦距异号。当有奇数个反射面时，物方焦距和像方焦距同号。

5. 光学系统的节点

图5：光学系统的节点的示意图

在光学系统中还有一对角放大率为+1的共轭点J和J`。通过这对共轭点的光线方向不变，如图5所示。三角形FQH与三角形J`B`F`全等，则FH=J`F`；三角形HNJ与三角形H`N`J`全等，则HJ=H`J`。又由图5可知，x_J=HJ+FH=H`J`+ J`F`，x`_J=J`F`=FH，即得以焦点为原点的节点的坐标：