基于差分的求和方法 与 阿贝尔变换
这里介绍基于差分的有限项求和方法,并引出分部求和公式——「阿贝尔变换」

函数的前向差分通常简称为函数的差分。定义如下:

其中,𝛥为差分算子。这里令g(x)为f(x)差分后的函数

则对g(x)的求和过程可转换为对原函数f(x)的计算,即:

事实上,证明(1.3)式也很简单,如下

这里,我们在指数m处使用上划线表示升阶乘。表示有m个因子一直向上乘

同理,可以在指数m处使用下划线表示降阶乘。表示有m个因子一直向下乘

特别地:

从上不难看出,在对g(x)求和时,可将g(x)视为f(x)的差分。此时我们只需找出g(x)的逆差分函数f(x)即可。这里给出常用的差分-逆差分对

这里对移位算子E进行说明

对于上表的常用差分-逆差分对,我们选择最后一个进行证明,如下所示

之所以要对最后一个进行特别强调,是因为它暗含了一个与分部积分类似的分部求和方法。即所谓的「阿贝尔变换」

- 具体数学 · 第2版 Ronald L.Graham、Oren Patashnik、Donald E.Knuth著
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