一起刷 leetcode 之旋转矩阵(头条/华为/陌陌真题)

每天晒白牙

共 1166字,需浏览 3分钟

 ·

2020-08-02 12:17

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题目描述

给你一幅由 N × N 矩阵表示的图像,其中每个像素的大小为 4 字节。请你设计一种算法,将图像旋转 90 度。

不占用额外内存空间能否做到?

https://leetcode-cn.com/problems/rotate-matrix-lcci/

示例

示例 1

给定 matrix = 
[
  [1,2,3
],
  [4,5,6],
  [7,8,9]
],

原地旋转输入矩阵,使其变为:
[
  [7,4,1
],
  [8,5,2],
  [9,6,3]
]

示例 2

给定 matrix =
[
  [ 5, 1, 9,11
],
  [ 2, 4, 8,10],
  [13, 3, 6, 7],
  [15,14,12,16]
], 

原地旋转输入矩阵,使其变为:
[
  [15,13, 2, 5
],
  [14, 3, 4, 1],
  [12, 6, 8, 9],
  [16, 7,10,11]
]

分析

方法 1:借助额外数组存放旋转后的元素

按行旋转,找旋转前和旋转后元素的坐标对应关系

原始矩阵

1 2 3
4 5 6
7 8 9

把第一行顺时针旋转 90 度后为:

x x 1
x x 2
x x 3

对应的坐标关系如下所示:

1:(0,0) -> (0,2)  
2:(0,1) -> (1,2)  
3:(0,2) -> (2,2

把第二行顺时针旋转 90 度后为:

x 4 1
5 2
6 3

对应的坐标关系如下所示:

4:(1,0) -> (0,1)
5:(1,1) -> (1,1)
6:(1,2) -> (2,1)

第三行也类似,就不一一列出了,通过旋转前和旋转后坐标的对比,我们可以得出一个很重要的规律

旋转前元素的坐标:(row,col)

旋转后元素的坐标:(col,n-row-1)

matrix[row] [col] = matrix[col] [n-row-1]

这个规律很重要,下面方法也会用到

方法就很简单了,我们遍历矩阵,根据上面得出的旋转前后的对应关系,把元素放到新的位置上,这里我们用额外矩阵来存放旋转后的元素,然后在最后把新矩阵复制到之前的矩阵中

源码

public static void rotate(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        if (n == 0) {
            return;
        }

        // 新建一个矩阵用来存放旋转后的元素
        int[][] newMatrix = new int[n][matrix[0].length];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                // 根据旋转前后的对应关系把元素放到要旋转的位置上
                newMatrix[j][n - i - 1] =  matrix[i][j];
            }
        }
        // 把存放旋转后元素的矩阵复制到原先的矩阵上
        System.arraycopy(newMatrix, 0, matrix, 0, newMatrix.length);
    }

执行结果

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方法1执行结果

复杂度分析

时间复杂度:O(n^2)

空间复杂度:O(n^2)

方法 1 占用了额外的内存空间,其实这道题是可以不额外占用空间也能实现,我们一起来看下下面的方法吧

方法 2:原地进行旋转操作

如果不借助额外数组该怎么操作?

在方法 1 中我们找到了规律是元素 matrix[row] [col] 旋转到了 matrix[col] [n-row-1] ,如果不借助额外数组,matrix[col] [n-row-1] 就会被覆盖,所以需要先把 matrix[col] [n-row-1] 临时存起来,下面就一起分析下不借助额外数组进行原地旋转吧,分析过程比较枯燥,建议自己尝试一下,省的跟丢

  • 先把 matrix[col] [n-row-1] 存放到 temp 上,然后把 matrix[row] [col] 旋转到  matrix[col] [n-row-1]

temp = matrix[col] [n-row-1]

matrix[col] [n-row-1] = matrix[row] [col]

  • 那 matrix[col] [n-row-1]  要旋转到什么位置上呢?这里需要方法 1 得出的重要规律  

matrix[row] [col] = matrix[col] [n-row-1]

这里需要注意的是新的 row = col;col = n-row-1,将其代入上面的规律中后为

matrix[n - row -1] [n - col -1] = matrix[col] [n - row -1]

可知,matrix[col] [n - row -1]  旋转后的位置是 matrix[n - row -1] [n - col -1],这个位置也会被覆盖,所以还需要用 temp 做中转

temp = matrix[n - row -1] [n - col -1]

matrix[n - row- 1] [n - col-1] = matrix[col] [n - row -1]

matrix[col] [n-row-1] = matrix[row] [col]

  • 我们继续往下推导,matrix[n - row -1] [n - col -1] 要旋转到什么位置上?依然代入方法 1 的重要规律中

matrix[row] [col] = matrix[col] [n-row-1]

这里需要注意的是新的 row = n - row -1;col = n - col -1,将其代入上面的规律中后为

matrix[n - col - 1] [row] = matrix[col] [n - row -1]

可知,matrix[n - row -1] [n - col -1] 旋转后的位置为   matrix[n - col - 1] [row] ,但这个位置也会被覆盖,依然需要用 temp 做中转

temp = matrix[n - col - 1] [row]

matrix[n - col - 1] [row] = matrix[n - row -1] [n - col -1]

matrix[n - row -1] [n - col -1] = matrix[col] [n - row -1]

matrix[col] [n - row -1] = matrix[row] [col]

  • 不要放弃,继续推导,matrix[n - col - 1] [row] 旋转到设么位置上?代入方法 1 的重要规律中

matrix[row] [col] = matrix[col] [n-row-1]

这里需要注意的是新的 row = n - col - 1;col =row ,将其代入上面的规律中后为

matrix[row] [col] = matrix[n - col - 1] [row]

这次竟然发现了新大陆,matrix[col] [n - row -1] 旋转后的位置为 matrix[row] [col],最后又回到了起点

此刻脑子里飘来了《那些年,我们一起追过的女孩》中的歌词“又回到最初的起点,呆呆的站在镜子前……”

综合上面的推导,我们发现旋转的重点就是下面的 4 个元素是处于一个循环中的

matrix[row] [col]

matrix[col] [n - row -1]

matrix[n - row - 1] [n - col - 1]

matrix[n - col - 1] [row]

对于上面 4 个元素的交换,我们用一个  temp 就可以实现了。但还有一点需要我们思考,就是要枚举哪些位置的元素来进行原地交换,能保证不重不漏呢?因为一次原地交换需要 4 个元素参加。我们把 n 分为偶数和奇数来看

当 n 为偶数时,需要枚举 (n/2)*(n/2) = n^2/4 个位置,所以矩阵左上角的子矩阵就符合我们的要求,可以做到不重不漏

下面用 n = 4 来举个栗子,* 代表要枚举的位置

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n为偶数枚举的位置

当 n 为奇数时,矩阵的中心位置是不动的,只需要枚举 ((n-1)/2)*((n+1)/2) = (n^2 -1/4) 个位置,矩阵的左上角的子矩阵还是符合要求的,可以做到不重不漏

下面以 n = 5 来举个栗子,* 代表要枚举的位置,x 代表中心位置

1938bf581e184cfe1ffcc6b3fd385b90.webp

n为奇数枚举的位置

综上,我们只需要枚举矩阵左上角高为 n/2,宽为 (n+1)/2 的小矩阵就好了,就可以做到不重不漏

源码

public static void rotate2(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        if (n == 0) {
            return;
        }

        for (int row = 0; row < n / 2; row++) {
            for (int col = 0; col < (n + 1) / 2; col++) {
                // 把 4 个位置的元素互换,注意顺序
                int temp = matrix[n - col -1][row];
                matrix[n - col -1][row] = matrix[n - row -1][n - col -1];
                matrix[n - row -1][n - col -1] = matrix[col][n-row-1];
                matrix[col][n-row-1] = matrix[row][col];
                matrix[row][col] = temp;
            }
        }
    }

执行结果

81a63386af5d39cb775c48623a80b33b.webp


方法2执行结果

复杂度分析

时间复杂度:O(n^2)

空间复杂度:O(1),这个方法没有额外使用空间

方法 2 的难点是找到 4 个元素位置的坐标关系,然后找到可以枚举的不重不漏的子矩阵,方法已经很优秀了,但是广大技术友总是能找到更牛逼的方法,下面的方法是从数学的角度来做到矩阵的原地旋转

方法 3 :原地双百

主要思想是用翻转代替旋转,先以对角线为轴,进行翻转。再以每一行的中点为轴,进行翻转。

我们通过示例图来看下这个过程

对于原始矩阵,先以对角线为轴,进行翻转

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以对角线为轴进行翻转

翻转完后如下所示:

57392fd5eb62203b141f08fe1e0c7b1c.webp

以对角线为轴翻转后

然后对每一行以中点为轴,进行翻转,效果如下:

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以中点为轴翻转后

以对角线进行翻转时,我们只需要枚举对角线上方的元素,然后和下方元素进行交换,坐标对应关系如下

matrix[row] [col] --> matrix[col] [row]

对每行以中点进行翻转时,我们只需要枚举中点左边的元素,然后和右边的元素进行交换,坐标对应关系如下

matrix[row] [col] --> matrix[row] [n - col - 1]

源码

public static void rotate3(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        if (n == 0) {
            return;
        }
        // 以对角线进行翻转
        for (int row = 0; row < n; row++) {
            for (int col = row + 1; col < n; col++) {
                int temp = matrix[col][row];
                matrix[col][row] = matrix[row][col];
                matrix[row][col] = temp;
            }
        }
        // 对每一行以中点进行翻转
        for (int row = 0; row < n; row++) {
            for (int col = 0; col < n / 2; col++) {
                int temp = matrix[row][n - col - 1];
                matrix[row][n - col - 1] = matrix[row][col];
                matrix[row][col] = temp;
            }
        }
    }

执行结果

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方法3执行结果

这种方法很巧妙,一般很难想到,所以只要你多刷肯定能学到一些比较好的方法,这种方法就是你看到过,你就会,没看到过,可能就需要好好想想了,最终还不一定能想到

但这个方法还可以优化,可以把按对角线翻转按中点翻转放到一个大 for 循环下

源码

public static void rotate4(int[][] matrix) {
        int n = matrix.length;
        if (n == 0) {
            return;
        }

        for (int row = 0; row < n; row++) {
            // 以对角线进行翻转
            for (int col = row + 1; col < n; col++) {
                int temp = matrix[col][row];
                matrix[col][row] = matrix[row][col];
                matrix[row][col] = temp;
            }

            // 对每一行以中点进行翻转
            for (int col = 0; col < n / 2; col++) {
                int temp = matrix[row][n - col - 1];
                matrix[row][n - col - 1] = matrix[row][col];
                matrix[row][col] = temp;
            }
        }
    }

执行结果

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方法4执行结果

复杂度分析

时间复杂度:O(n^2)

空间复杂度:O(1) 没有使用额外的空间

用过该题做过面试题的公司

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使用该题的公司

其实有技术友分享过陌陌公司去年使用过这道题作为笔试题,不知道今年还有没有,遇到的小伙伴可以留言说下

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陌陌真题-技术友分享

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