矩阵之父 Sylvester 提出 Matrix 时是这么说的

公元 1840 年，英国对满清发动第一次鸦片战争。1848 年，一股新生力量在英国伦敦发布宣言，后来逐渐登上历史舞台。

在这样的历史背景下，本文主角 Matrix 在英国犹太数学家西尔维斯特（Sylvester）的脑海中逐渐酝酿成形。 

搜尽能触及到的所有资料，发现 Matrix 这个词最早出现在英国数学家西尔维斯特于 1850 年发表的一篇论文里。不妨来瞻仰一下这具有历史意义的一页，

〄 发表于 1850 年

可见，西尔维斯特引入 Matrix 是为了计算行列式。我们知道，行列式涉及的数字阵列必须是方形的，但在考虑有些问题时会涉及 m 行 n 列的矩形数字阵列，不一定是方形的。但可以从它取出一个方形子阵列，例如将它的某 p 行和某 p 列的元素取出来，然后计算这个方形子阵列的行列式（现在称为子行列式）。为了便于描述，有必要给该矩形数字阵列取一个名字。

为什么取 Matrix 这个名字呢？在 1851 年的另一篇论文里，西尔维斯特对 Matrix 作了进一步解释。

〄 发表于 1851 年

特别是下面这一句，

I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent.

按他的这个意思，所谓的 Matrix 就是将这个矩形数字阵列看成产生各种子行列式的母体/子宫（womb）。而 Matrix 这词应该是源自 Mater（等同于 Mother 的意思）。

下面，我们来看一下西尔维斯特当时的研究背景，主要是涉及行列式的两个工作。

1

西尔维斯特恒等式

西尔维斯特行列式恒等式是可用于估算某种类型行列式的一个恒等式。西尔维斯特正是在上面那篇 1851 年发表的论文里提出了这个等式，但并没有给出证明（也是 n 年后别人给出证明）。

给定一个 矩阵 ，令 det 表示其行列式。选择一对

即从 中取两个有 个元素的子集，其中 。令 表示从 中分别删除 对应的那些行和 对应的那些列后得到的 的一个大小为 的子矩阵。

然后，再定义一个大小为 的辅助矩阵 ，其下标为 的元素为以下行列式，

其中 表示分别从 和 中删除元素 和 后得到的 个元素子集。那么有如下西尔维斯特行列式恒等式成立，

从这个公式可以体验到从一个 Matrix 中提取或删除若干行和若干列后组成子行列式的情形。这个恒等式似乎有点复杂，先大致知道它就行，至于它有什么用途等碰到了再说。

当 时，对应一个特例，即所谓的 Desnanot-Jacobi 恒等式。

这个简化版的恒等式是这样子的，给定两个整数  和 ，令

而  是一个 矩阵，如果 是元素为正整数的 -元组，而 是元素为正整数的 -元组，则用 表示从 中选择 中的行以及 中的列组成的子矩阵。那么有如下 Desnanot–Jacobi 恒等式成立，

配上一幅图，以方便想象。

下面，我们用 Python 很快验证一下。

import numpy as np

A = np.array([[-2,-1,-1,-4],[-1,-2,-1,-6],[-1,-1,2,4],[2,1,-3,-8]])
A

array([[-2, -1, -1, -4],
       [-1, -2, -1, -6],
       [-1, -1,  2,  4],
       [ 2,  1, -3, -8]])

np.linalg.det(A) * np.linalg.det(A[1:-1,1:-1])

39.99999999999998

np.linalg.det(A[:-1,:-1]) * np.linalg.det(A[1:,1:]) \
- np.linalg.det(A[1:,:-1]) * np.linalg.det(A[:-1,1:])

40.00000000000001

验证通过。

2

西尔维斯特矩阵

这里所谓的西尔维斯特矩阵是特指某种矩阵，我们来看看这种矩阵到底长什么样。

1851 年，西尔维斯特发现了一元三次方程的判别式，通过它可以对根的数量和类型作出判断。重要的是，西尔维斯特发现判别式可以通过计算相应的行列式来获得。

所谓西尔维斯特矩阵是由一个多项式以及它的导数的系数构成的。具体地说，前 行的元素来自多项式的系数，但每一行跟前一行有错位，接着 行来自多项式的一阶导数的系数，

二次方程

我们都知道一元二次方程的判别式。对于系数 ，如果判别式为 ，则二次方程 具有两个实根。如果 ，则只有一个实根，如果 ，则没有实根。这里的判别式 由两个求和项组成，每个求和项均为 次。

下面，我们来看看西尔维斯特如何用行列式来求解判别式。把多项式和导数的系数按上面所说的规则排列，然后计算行列式即可。

三次方程

对于三次方程式 ，根的情况可以通过判别式

来确定，其中 个被加项的次数均为 。

那么，如果有 ，则该方程具有三个不同实根；如果有 ，则该方程具有一个实根和两个共轭复根；如果 ，则所有解都是实根，但其中至少两个匹配。

同样地，来看看西尔维斯特如何用行列式来求解判别式。

可以通过规范化该方程（即使得 ）或者变元代换进一步简化式子。

类似地可计算高次方程的判别式，它是由指数级增长的求和项个数构成（ 次: 项； 次: 项； 次: 项）。

可见，此时的矩阵主要表示数字阵列，可以说是为行列式而生。这也从另一个角度可以看到，这时候矩阵并不是为了变换别人，它本身就有存在的意义，只是以后的身份将赋予它更多的使命和价值。

西尔维斯特提出这个词的时候还是围绕行列式的园地辛勤耕耘。当然，等后来矩阵作为独立的概念提出来研究后，他也会继续挖掘矩阵的一些有意义的工作，比如西尔维斯特公式、西尔维斯特方程、秩不等式以及独立提出奇异值分解等等。

3

小 结

关于西尔维斯特在提出 Matrix 这个词的那些年主要做的工作就介绍到这里。可见，提出这个词并没有带来太多新名堂，主要还是为计算行列式而生，因此暂时还缺少存在感。

真正给矩阵生命力的是他的好基友，英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley），不过这事或许要等他们深度交流之后方能碰出灵感的火花。

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参考文献

[1] Sylvester James Joseph. On the relation between the minor determinants of linearly equivalent quadratic functions. Philosophical, 1851.