前言

机器学习｜数学基础｜线性代数

Mathematics for Machine Learning

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5.4 对称矩阵的对角化

定理5

「对称阵」的特征值为「实数」

定理6

设是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量。若，则与正交

「证明」

因为是对称阵的两个特征值，是对应的特征向量

所以，有

因为对称 所以

那么

即

因为

所以

即与正交

定理7

设为阶对称阵，则必有正交阵，使，其中是以的个特征值为对角元的对角阵

❝

正交阵：如果，那么就是正交阵 

正交阵中

❞

推论

设为阶矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰好有个线性无关的特征向量

举例

例12

设

「解答」

由

解得A的特征值为

对应,解方程

得基础解系

对进行单位化，得

对应，解方程

得基础解系

将正交化

令

再将单位化，得

将构成正交矩阵

有

例13

设

「解答」

因为是实数对称阵，所以可对角化

❝

阶实对称矩阵必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值

❞

所以存在正交矩阵P、对角阵使得

也就是说求，需要先求出

由

得到A的特征值

得到

对应，有

得基础解系

对应，有

得到基础解系

由可得正交阵P

综上

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～