【算法学习】减治 · 分治 · 变治

减治 · 分治 · 变治

好久不见，这里依旧是代班的工人~

可能不是很想。。。emmm。。。没关系。。。

最近越学越发觉自己懂得好少。。。

但是最近又好忙好忙。。。

不过如今你们看到了这篇文章，说明我还是挺过来了！鼓掌~

（虽然不知道能不能挺过下周）

那么，趁着我还活着，这次还是带来基础算法的知识

秉持着大神来回顾，小白来学习的原则

让我们开始这期的学习吧！

目录

01.减治法

02.分治法

03.变治法

01

减  治  法

decrease-and-conquer method

普卢塔克说，萨特斯为了告诉他的士兵坚忍和智慧比蛮力更重要的道理，把两匹马带到他们面前，然后让两个人拔光马的尾毛。一个人是魁梧的大力士，他用力地拔了又拔，但一点效果也没有；另一个人是一个精美的、长相矫捷的裁缝，他微笑着，每次拔掉一根毛，很快就把尾巴拔得光秃秃的。

——E. Cobham Brewer，《惯用语和寓言词典》，1898

减治法（decrease-and-conquer method）

减治法采取划分后选择计算的思想，利用一个问题和同样较小规模的问题之间的某种关系进行划分。我们先确立这种关系，然后既可以从顶至下，也可以从底至上地来运用该关系，将大问题分解成小问题来解决，像是层层嵌套。在实际解决的过程中只针对部分子问题进行求解。

减治法有３种主要的变种：

1.减去一个常量 (decrease by a constant)

2.减去一个常数因子(decrease by a constant factor)

3.减去的规模是可变的(variable size decrease)

1.减去一个常量 (decrease by a constant)

在减常量变种中，我们每次从问题规模中减去一个规模相同的常量。（一般来说，这个常量等于一）

（CSDN盗图，别介意~） 

函数f(n) = a^n的求解过程就是一个栗子：

在这里，虽然算法的时间复杂度和蛮力法一致，但是体现的思想却不一样。

其他的栗子还有：

深度优先、广度优先查找，拓扑排序等。这里对拓扑排序稍加介绍。

拓扑排序是指：对一个有向无环图G进行排序，将G中所有顶点排成一个一维线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前（起点在终点之前）。

运用减治法思想的步骤：

1.在有向图中选一个没有前驱的顶点，输出；

2.删除所有和它有关的边；

3.重复上述两步，直至所有顶点输出。

（每次我们只减去常量1，因此当有多个点没有前驱时，只需要随意挑选一个点输出）

比如这样一个图：

再比如这样一个图（其实是同一个图啦）：

我们最终会得到这样的序列：

v6—>v1—>v4—>v3—>v5—>v2；

当然，类似这样的序列也是正确的：

v1—>v6—>v4—>v3—>v5—>v2；

v1—>v3—>v6—>v4—>v5—>v2。。。

这里是要强调选择的随机性。这完全由代码决定。

没什么大问题，下面就到了激动人心的代码环节：

//拓扑排序：寻找图中入度为0的顶点作为即将遍历的顶点，遍历完后，将此顶点从图中删除    #include     using namespace std;
    int adjMatrix[105][105];//参数adjMatrix:邻接矩阵    int source [105];    // 参数source:给出图的每个顶点的入度值    int n,m;  //给出图的顶点、边个数
    void getSourceSort( ){        int count = 0;                  //用于计算当前遍历的顶点个数         bool judge = true;        while(judge)    {            for(int i = 1;i <= n;i++)      {                if(source[i] == 0) //当第i个顶点入度为0时，遍历该顶点        {                                    count++;          if (count ";                    if(count==n)cout<                    source[i] = -1;                  //代表第i个顶点已被遍历                    for(int j = 1;j <= n;j++)   //寻找第i个顶点的出度顶点          {                        if(adjMatrix[i][j] == 1)                            source[j] -= 1;          //第j个顶点的入度减1                     }                }            }            if(count == n)               judge = false;        }    }
    //返回给出图每个顶点的入度值    void getSource( ){        for(int i = 1;i <= n;i++) //若邻接矩阵中第i列含有k个1，则在该列的节点的入度为k，即source[i] = k     {                      int count = 0;            for(int j = 1;j <= n;j++)      {                if(adjMatrix[j][i] == 1)                    count++;            }            source[i] = count;        }    }
    int main(){  int a,b;  cin>>n>>m;    for(int i = 1;i <= n;i++)  //初始化邻接矩阵         for(int j = 1;j <= n;j++)            adjMatrix[i][j] =0;    for(int i = 1;i <= m;i++)    {       cin>>a>>b;       adjMatrix[a][b] = 1;    }
    getSource();    getSourceSort( );
    return 0;}

2.减去一个常数因子(decrease by a constant factor)

减去常数因子实际上就是把规模除以一个常数。（在多数情况下，这个常数因子是二）

继续以计算f(n)=a^n为栗：

这里的时间复杂度为O (log n)，就比蛮力法优化多了。

对分查找，假币问题都可以用这种思想。我们以假币问题为例：

有n枚银币，其中有1枚是假的，假币重量偏重、偏轻未知，输入银币的重量，求假币的位置。

我们先取出一枚银币作为对照，再将银币分为两半称重，每次称重对比，再从有问题的一堆中继续称重查找。这样，每次我们都减去了常量因子2。

当然，银币总数是奇偶时需要不同的处理方式，在银币数量为偶数时，由于不知道假币偏轻或偏重，我们需要选择一个compare进行对照。

同时，我们还可以把银币分为三堆考虑，进一步优化时间复杂度。（作为代价，代码要考虑总数mode3余1、2、0的情况，同时要比较三堆，会稍稍复杂一些）

Codding time：

//三分法求八枚银币问题#include using namespace std;
int coin[105],num;
int sum(int left, int right){    int sum = 0;    for (int i = left; i <= right; i++)        sum += coin[i];    return sum;}
int findfake(int left, int right){  int n=right-left+1;    int p1=(right+left)/3;    int p2=p1*2;    int sign = n % 3;    if (sign == 0)    {        int fake = 0;        int A, B, C;        A = sum(left,p1);        B = sum(p1+1,p2);        C = sum(p2+1,right);        if (n == 3)        {            if (A == B)            {                fake = right;            }            else if (A == C)            {                fake = right - 1;            }            else            {                fake = left;            }            return fake;        }        else        {            if (A == B)            {                fake = findfake(p2+1,right);                return fake;            }            else if (A == C)            {                fake = findfake(p1+1,p2);                return fake;            }            else            {                fake = findfake(left,p1);                return fake;            }        }    }    if (sign == 1)    {        int fake = right;        int A, B, C;        A = sum(left,p1);        B = sum(p1+1,p2);        C = sum(p2+1,right-1);        if (n == 1)        {            return fake;        }        else        {            if (A == B)            {                if (A == C)                    return fake;                if (A !=C)                {                    fake = findfake(p2+1,right-1);                    return fake;                }            }            else if (A == C)            {                fake = findfake(p1+1,p2);                return fake;            }            else            {                fake = findfake(left,p1);                return fake;            }        }    }    if (sign == 2)    {        int fake = 0;        int x1 = right - 1;        int x2=right;        int A, B, C;        A = sum(left,p1);        B = sum(p1+1,p2);        C = sum(p2+1,right-2);        if (n == 2)        {            int campare; //参照物            if (right != num)                campare = coin[num];            else                campare = coin[1];            if (coin[x2] == campare)                fake = x1;            else                fake = x2;            return fake;        }        else        {            if (A == B && B == C)            {                int campare = coin[0];                if (coin[x1] == campare)                    fake = x2;                else                    fake = x1;                return fake;            }            else if ((A == B) && (A!=C))            {                fake=findfake(p2+1,x1-1);                return fake;            }            else if (A == C)            {                fake=findfake(p1+1,p2);                return fake;            }            else            {                fake = findfake(left,p1);                return fake;            }        }    }    return 0;}

int main(){  cin >> num;  for (int i = 1; i <= num; i++)    cin >> coin[i];    int fake=findfake(1,num);
  cout << fake;
    return 0;}

3.减去的规模是可变的(variable size decrease)

字面理解，就是指每次减去的规模的模式或数值是不同的。

这里我们拿欧几里德算法为栗子。学过数论的盆友们知道（数学害人不浅啊），欧几里得算法是一种求最大公约数的较为简便的方法，也叫辗转相除法。用一个简单的式子来表示：

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (这里a>b)

（题外话，我记得数论里最大公约数是不需要gcd的。。。）

可以大致想象到，这里每次减去的规模是完全未知、可变的。

我们再举一个栗子：二叉查找树。

百度百科告诉我们，二叉查找树是一颗这样的树：

（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

（3）左、右子树也分别为二叉排序树；

（4）没有键值相等的结点。

根据树的性质，我们可以发现对二叉查找树的查找并不困难，只要从顶点开始不断比较就行了。但二叉查找树不一定就是平衡二叉树，如果只有一个分支，那减去的规模就会变化。（为什么我感觉解释的好扯啊。。。）

查找的代码并不困难，我们这里只给出实现插入和查找两种功能的代码。

（就当练习数据结构了= =）

Coding time：

//二叉排序树 #include using namespace std;
typedef class BiTNode  //定义结点类，指针类型名 {public:  int data;  class BiTNode *leftchild, *rightchild;}*BiTree;// BST查找,查找成功,则p指向该元素节点,返回truebool searchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree &p){  if (!T)  {    p = f;    return false;  }  else if (key == T->data)  {    p = T;    return true;  }  else if (key < T->data)    return searchBST(T->leftchild, key, T, p);  else    return searchBST(T->rightchild, key, T, p);}//BST插入，用于建立树 bool insertBST(BiTree &T, int key){  BiTree p, s;  //因为在searchBST的过程中有进行比较,所以search完T就指向该插入位置的父结点   if (!searchBST(T, key,NULL, p))  {    s = new BiTNode;    s->data = key;    s->leftchild = s->rightchild = NULL;    if (!p)  T = s;      //p是空的说明树是空的,则插入在根节点    else if(key < p->data) p->leftchild = s;    else     p->rightchild = s;    return true;  }  else    return false;}int main(){    //二叉树的创建    int n;    cout<<"输入点个数"<<endl;    cin>>n;    BiTree T = NULL;    cout<<"输入节点"<<endl;    for (int i = 0; i < n; i++)    {      int a;      cin>>a;      insertBST(T, a);    }    //二叉树的查找    BiTree p=NULL;    BiTree f=NULL;    cout<<"接下来进行二叉排序树的查找,请输入值key"<<endl;    int key;    cin>>key;    if (searchBST(T, key, f, p))      cout<<"在二叉排序树中"<<endl;    else      cout<<"不在二叉排序树中"<<endl;        return 0;}

emmm，这图好像看不出什么。。。

编写的过程中有一点小插曲，我看错了树的定义，所以一开始的版本出现了错误(┬＿┬)，可以放出来给无聊的人看看，找找错。（说明看对题目真的很重要！！！）

wrong code：

//二叉查找树的建立（数组实现） #include using namespace std; 
int size=0;  //size为树的规模 int tree[1005]; const int INF=0;
void addElement(int element){    int p = 1; //指标p     if(size == 0)    {        tree[p] = element;        size++;        return;    }    while(true)  {        if(element        {            int p1 = 2 * p  ;   //p1指向p的左儿子的位置               if(tree[p1] == INF)      {        tree[p1] = element;        size++;        return;      }            else           p = p1;        }                else        {            int p2 = 2 * p + 1;  //p2指向p的右儿子的位置             if(tree[p2] == INF)      {              tree[p2] = element;              size++;        return;      }            else             p = p2;        }            }} 
int main(){  int i,j=1;  for (i=1;i<=size;i++)      tree[i]=INF;  int temp;  while(cin>>temp)  {    addElement(temp);  }  for (i=1;j<=size;i++)  {    if(tree[i]!=INF)      {      cout<"   ";      j++;    }  }  return 0;}

02

分  治  法

divide-and-conquer algorithm

无论人们在祈祷什么，他们总是在祈祷一个奇迹。每一个祈祷都可以简化为：伟大的上帝呀，请让两个二相加不等于四吧。

——伊万·屠格涅夫（1818 － 1883），俄国作家和短篇小说家

关于分治法，本公司的另一位老板在一年前也写过啦（老板真强，老板真强。。。），大家可以看看那篇，很详细（不是说讲解详细）：

经典优化算法之分治法（Divide-and-Conque Algorithm）

转载 |【算法】分治法（Divide-and-Conquer Algorithm）经典例子分析

从字面上分析就可以看到有哪些步骤：

分-分解-将问题分解为规模更小的子问题，子问题最好相同或相似；

治-求解-将这些规模更小的子问题逐个击破；

合-合并-将已解决的子问题合并，最终得出原问题的解；

（有时原始问题的解只存在于分解出的某一个（或某几个）子问题中，则只需要在这一（或这几个）子问题中求解即可。例如在图书馆里找书。）

从上述步骤中我们可以看出，分治算法一般适用满足以下条件的场景：

1）问题规模缩小到一定的程度就可以很容易解决；

2）问题可以分解为若干个规模较小的相同问题；

3）问题分解出的若干子问题的解可以合并为该问题的解；

4）每个子问题都是独立的，相互之间没有交集。（这是区别分治法与减）

在“分”的过程中，我们尽可能让分解出的子问题与原始问题相似，而规模更小。这刚好符合递归的特性。因此，分治法往往与递归联系在一起。

说到这里，是不是有小伙伴觉得分治法与减治法很相似，傻傻分不清？我们这里再举f(n)=a^n的栗子。

n>1时：f(n)=a^(n/2)*a^(n/2)

n=1时：f(n)=a

比较一下减常数因子：

n是偶数时：f(n)= f(n/2)^2              

n是大于１的奇数时：f(n)= f((n-1)/2)^2* a           

n = 1时：f(n)=a                    

也就是说，分治法对分治出的部分需要分别处理，进行分开的单独计算，而减治法则利用了"一个问题给定实例的解和同样问题较小实例的解之间的关系"，只针对部分子问题求解，减治掉的那部分就不需要了。

其实，减常因子的减治法也可以看做是分治的变种。

需要注意的是，不是所有的分治算法都一定比简单蛮干更有效，前面的减治法也是，就比方说这里的栗子，时间复杂度仍为o（n）。不过，“通常我们向算法女神所做的祈祷都被应允了”，使用分治法往往比使用其他方法效率更高。

分治法的时间效率T(n)一般满足方程T(n)=aT(n/b)+f(n)。因此，分治法对于并行算法是非常理想的。

我们介绍一个和数学有关的算法：

Strassen矩阵乘法。

（虽然在骁老板的文章里有提到，但我还是不辞辛苦地再写一遍八）

考虑到大家都是小白，先说明矩阵乘法的定义。（其实是我自己不懂才先去查的）

这张图很清楚的说明了矩阵乘法的计算公式。为了方便讲解，我们先以n*n的偶数阶方阵为例，之后再拓展到一般的矩阵乘法。

我们从数学中回到算法来。这个问题如果直接暴力计算，需要循环三次：关于i,j,k分别循环。时间复杂度为o（n^3）。

我们采用分治的思想，把偶数阶方阵如图划分为四份（这里的ABC可以是矩阵）：

按照矩阵中的知识，可以得到：

C11 = A11 • B11 + A12 • B21
C12 = A11 • B12 + A12 • B22
C21 = A21 • B11 + A22 • B21
C22 = A21 • B12 + A22 • B22

我们估算一下时间复杂度：T(n) = 8T(n/2) + o(n^2)（前面是不是见过这个式子？）递归的结果是时间复杂度并没有降低。算法女神去死八。

聪明的Strassen不甘心。他发明了一种新的方法，通过降低递归式中T(n/2)的系数来降低时间复杂度。

仍然把每个矩阵分割为4份，然后创建如下10个中间矩阵：

S1 = B12 - B22
S2 = A11 + A12
S3 = A21 + A22
S4 = B21 - B11
S5 = A11 + A22
S6 = B11 + B22
S7 = A12 - A22
S8 = B21 + B22
S9 = A11 - A21
S10 = B11 + B12

接着，计算7次矩阵乘法，在建立7个中间的中间矩阵（中中间矩阵）：

M1 = A11 • S1
M2 = S2 • B22
M3 = S3 • B11
M4 = A22 • S4
M5 = S5 • S6
M6 = S7 • S8
M7 = S9 • S10

最后，根据这7个中中间矩阵就可以计算出C矩阵：
C11 = M5 + M4 – M2 + M6
C12 = M1 + M2
C21 = M3 + M4
C22 = M5 + M1 - M3 - M7

证明就留给线性代数的同学们吧，应该不难。当然能不能想到就另说咯。

但不管怎么说，我们利用这个结论，成功地将系数8变成了7，算法的时间复杂度也就降低到了o（n^log7）。

我们再回到一般性矩阵。对于一般性矩阵，我们还是认真看定义吧。。。

对于非偶数阶方阵，我们可以用0将其填充为偶数阶方阵：

如果是奇数阶方阵，我们也可以在找到最近的偶数阶方阵，其余部分直接暴力计算。

（代码中我只实现第一种方式）

很明显这种优化是为了处理大型问题的，既然如此我们在写代码时也需要开辟足够大的规模。一种方法是用指针创建它（这就是代码冗长的主要原因）。因为是二维数组，所以需要用到指向指针的指针，再用数组表示指针，然后就可以用熟悉的处理数组的方式处理数据啦。

代码小长，实际上也没什么内容：

//strassen算法（在此感谢互联网，减少工作量） #include #include #include using namespace std;
void Strassen(int N, int** MatrixA, int ** MatrixB, int ** MatrixC);      //进行矩阵乘法 void ADD(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int length );  //矩阵加法 void SUB(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int length );  //矩阵减法 void MUL(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult );              //计算规模最小的二阶矩阵（常规方法） void FillMatrix( int** matrix, int, int,int);                             //输入原始矩阵 void PrintMatrix( int **Matrix, int length,int width );                   //输出矩阵乘法结果 int findN(int l1,int l2,int l3,int l4);                                   //非偶数阶方阵，寻找扩充边界 
int main(){  int length1,length2,width1,width2;    int** MatrixA;  //指向指针的指针，存放矩阵数据     int** MatrixB;    int** MatrixC;
    cout<<"请输入两个矩阵的规模(先长后宽，第一个组的宽与第二组的长相等): "<    cin>>length1>>width1;    cin>>length2>>width2;
    int N =findN(length1,length2,width1,width2);
    MatrixA = new int *[N];   //开辟一维指针数组，每个数组容量为N     MatrixB = new int *[N];    MatrixC = new int *[N];
    for (int i = 0; i < N; i++)    {        MatrixA[i] = new int [N];   //开辟二维数组 ，每个数组容量为N*N         MatrixB[i] = new int [N];        MatrixC[i] = new int [N];    }
    cout<<"请分别输入两个矩阵的数据："<    FillMatrix(MatrixA,length1,width1,N);    FillMatrix(MatrixB,length2,width2,N);
  Strassen( N, MatrixA, MatrixB, MatrixC );  cout<<"运算结果为：";
  int length3=length1>length2?length1:length2;
  PrintMatrix(MatrixC,length1,width2);
    return 0;}
//寻找拓展规模N int findN(int l1,int l2,int l3,int l4){  int max,k=1,max1,max2;  max1=l1>l2?l1:l2;  max2=l3>l4?l3:l4;  max=max1>max2?max1:max2;  while (true)  {    if (max<=pow(2,k)) return pow(2,k);    k++;  } } 
//计算矩阵乘法 void Strassen(int N, int **MatrixA, int **MatrixB, int **MatrixC){
        int HalfSize = N/2;        int newSize = N/2;
        if ( N == 2 )    //边界最小规模：二阶矩阵         {            MUL(MatrixA,MatrixB,MatrixC);        }        else        {          //和主函数里一样，定义指针，开辟空间       int** A11;      int** A12;      int** A21;      int** A22;
      int** B11;      int** B12;      int** B21;      int** B22;
      int** C11;      int** C12;      int** C21;      int** C22;
      int** M1;      int** M2;      int** M3;      int** M4;      int** M5;      int** M6;      int** M7;      int** AResult;  //result返回结果       int** BResult;
      A11 = new int *[newSize];      A12 = new int *[newSize];      A21 = new int *[newSize];      A22 = new int *[newSize];
      B11 = new int *[newSize];      B12 = new int *[newSize];      B21 = new int *[newSize];      B22 = new int *[newSize];
      C11 = new int *[newSize];      C12 = new int *[newSize];      C21 = new int *[newSize];      C22 = new int *[newSize];
      M1 = new int *[newSize];      M2 = new int *[newSize];      M3 = new int *[newSize];      M4 = new int *[newSize];      M5 = new int *[newSize];      M6 = new int *[newSize];      M7 = new int *[newSize];
      AResult = new int *[newSize];      BResult = new int *[newSize];
      int newLength = newSize;
            //同上       for ( int i = 0; i < newSize; i++)      {        A11[i] = new int[newLength];        A12[i] = new int[newLength];        A21[i] = new int[newLength];        A22[i] = new int[newLength];
        B11[i] = new int[newLength];        B12[i] = new int[newLength];        B21[i] = new int[newLength];        B22[i] = new int[newLength];
        C11[i] = new int[newLength];        C12[i] = new int[newLength];        C21[i] = new int[newLength];        C22[i] = new int[newLength];
        M1[i] = new int[newLength];        M2[i] = new int[newLength];        M3[i] = new int[newLength];        M4[i] = new int[newLength];        M5[i] = new int[newLength];        M6[i] = new int[newLength];        M7[i] = new int[newLength];
        AResult[i] = new int[newLength];        BResult[i] = new int[newLength];
      }
      //拆分A、B矩阵为四个小矩阵             for (int i = 0; i < N / 2; i++)            {                for (int j = 0; j < N / 2; j++)                {                    A11[i][j] = MatrixA[i][j];                    A12[i][j] = MatrixA[i][j + N / 2];                    A21[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j];                    A22[i][j] = MatrixA[i + N / 2][j + N / 2];
                    B11[i][j] = MatrixB[i][j];                    B12[i][j] = MatrixB[i][j + N / 2];                    B21[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j];                    B22[i][j] = MatrixB[i + N / 2][j + N / 2];
                }            }
            //计算7个中中间矩阵 M            //M1=(A11+A22)*(B11+B22)             ADD( A11,A22,AResult, HalfSize);            ADD( B11,B22,BResult, HalfSize);            Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M1 ); 
            //M2=(A21+A22)*B11            ADD( A21,A22,AResult, HalfSize);                         Strassen(HalfSize, AResult, B11, M2);       
            //M3=A11*(B12-B22)            SUB( B12,B22,BResult, HalfSize);                          Strassen(HalfSize, A11, BResult, M3);       
            //M4=A22(B21-B11)            SUB( B21, B11, BResult, HalfSize);                       Strassen(HalfSize, A22, BResult, M4);       
            //M5=(A11+A12)B22            ADD( A11, A12, AResult, HalfSize);                      Strassen(HalfSize, AResult, B22, M5);      
            //M6=(A21-A11)(B11+B12)            SUB( A21, A11, AResult, HalfSize);            ADD( B11, B12, BResult, HalfSize);                        Strassen( HalfSize, AResult, BResult, M6);   
            //M7=(A12-A22)(B21+B22)            SUB(A12, A22, AResult, HalfSize);            ADD(B21, B22, BResult, HalfSize);                         Strassen(HalfSize, AResult, BResult, M7);    
            //计算出新矩阵的四个部分C             //C11 = M1 + M4 - M5 + M7;            ADD( M1, M4, AResult, HalfSize);            SUB( M7, M5, BResult, HalfSize);            ADD( AResult, BResult, C11, HalfSize);
            //C12 = M3 + M5;            ADD( M3, M5, C12, HalfSize);
            //C21 = M2 + M4;            ADD( M2, M4, C21, HalfSize);
            //C22 = M1 + M3 - M2 + M6;            ADD( M1, M3, AResult, HalfSize);            SUB( M6, M2, BResult, HalfSize);            ADD( AResult, BResult, C22, HalfSize);
             //合并为新矩阵             for (int i = 0; i < N/2 ; i++)            {                for (int j = 0 ; j < N/2 ; j++)                {                    MatrixC[i][j] = C11[i][j];                    MatrixC[i][j + N / 2] = C12[i][j];                    MatrixC[i + N / 2][j] = C21[i][j];                    MatrixC[i + N / 2][j + N / 2] = C22[i][j];                }            }
            // 释放空间       for (int i = 0; i < newLength; i++)      {        delete[] A11[i];delete[] A12[i];delete[] A21[i];delete[] A22[i];
        delete[] B11[i];delete[] B12[i];delete[] B21[i];delete[] B22[i];
        delete[] C11[i];delete[] C12[i];delete[] C21[i];delete[] C22[i];
        delete[] M1[i];delete[] M2[i];delete[] M3[i];delete[] M4[i];delete[] M5[i];delete[] M6[i];delete[] M7[i];
        delete[] AResult[i];delete[] BResult[i] ;      }        delete[] A11;delete[] A12;delete[] A21;delete[] A22;        delete[] B11;delete[] B12;delete[] B21;delete[] B22;        delete[] C11;delete[] C12;delete[] C21;delete[] C22;        delete[] M1;delete[] M2;delete[] M3;delete[] M4;delete[] M5;        delete[] M6;delete[] M7;        delete[] AResult;        delete[] BResult ;        }}
 //计算矩阵加法 ，记过输入result void ADD(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int MatrixSize ){    for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++)    {        for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++)        {            MatrixResult[i][j] =  MatrixA[i][j] + MatrixB[i][j];        }    }}
 //矩阵减法，同上 void SUB(int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult, int MatrixSize ){    for ( int i = 0; i < MatrixSize; i++)    {        for ( int j = 0; j < MatrixSize; j++)        {            MatrixResult[i][j] =  MatrixA[i][j] - MatrixB[i][j];        }    }}
 //暴力法求解，计算二阶矩阵  void MUL( int** MatrixA, int** MatrixB, int** MatrixResult ){    for (int i=0;i<2 ;i++)        {              for (int j=0;j<2 ;j++)              {                   MatrixResult[i][j]=0;                   for (int k=0;k<2 ;k++)                   {                          MatrixResult[i][j]=MatrixResult[i][j]+MatrixA[i][k]*MatrixB[k][j];                   }              }        }}
//输入数据 ，填充为偶数阶方阵 void FillMatrix( int** Matrix, int length,int width,int N){    for(int row = 0; row    {      if (row    {       for(int column = 0; column           {              if (column             cin>>Matrix[row][column];          else             Matrix[row][column]=0;           }        }        else        {          for(int column = 0; column          Matrix[row][column]=0;    }
    }}
//输出正确规模的新矩阵 void PrintMatrix(int **MatrixA,int length,int width){  cout<     for(int row = 0; row    {      for(int column = 0; column      {          cout<        if ((column+1)%((width)) == 0)          cout<      }    }     cout<}

（检验用了小一点的数组，别介意。。。）

03

变  治  法

I don' t konw it' s English name

生活的秘密在于。。。用一个烦恼代替另一个烦恼。

——Charles M. Schulz (1922 - 2000)，美国漫画家

变治法，就是基于变换的一种思想方法，首先把问题的实例变得容易求解，然后进行求解。这个方法的思路类似于数学建模的思路，将生活中的问题进行简单的抽象、归化，以便对此进行研究。它不是一种标准的算法，更多的是一种思考的方式。

变治法的工作可以分成两个阶段：首先把问题变得更容易求解，然后对实例进行求解。根据我们对问题实例的变换方式，变治思想有3种主要的类型：

1.实例化简(Instance simplification)。

2.改变表现(Representation Change).

3.问题化简(Problem reduction).

1.实例化简(Instance simplification)。

指将原问题变换为同样问题的一个更简单或者更方便的实例。

预排序是一个这样的栗子：

预排序并不是一种算法设计策略，而是一种意识，在设计算法时要有这种意识，在算法中作预处理，是一种将实例化简的变治策略。

我们在构建数据时就提前进行排序，处理一些问题时就可以非常方便。

例如检验数组元素的唯一性。如果没有预排序，只用蛮力法，需要经过两轮循环，一个个元素检查，时间复杂度为o（n^2）。
而将数组预排序后，相同的元素就会挨着，扫描一遍比较两侧的数据后即可检验元素唯一性，扫描过程的时间复杂度为o（n）。（当然，排序的时间复杂度会更大）

再如模式计算。模式是指一个序列中出现次数最多的一个数值。
同样，如果用蛮力，逐个检查元素出现的次数，需要两遍扫描，复杂度为o（n^2）
预排序将相同的元素紧挨着，通过一遍扫描，累计元素重复出现过的次数，就可知道出现最多的元素。同上，时间复杂度为o（n）。

同理的还有查找问题，这里就不再说了。代码就是排序，也不写了。

2.改变表现(Representation Change).

指将原问题变换为同样实例的不同表现。

我们介绍一个很经典的栗子：霍纳法则。

在计算多项式时，人为计算一般都是一项一项算；然而，当计算机这样计算时，每次求k次方都需要进行多次乘法，效率相当低。

因此，我们将乘法改变为以下形式：

这样，我们只需要进行n次乘法，通过改变了式子（即问题）的表现形式，大大优化了效率。

代码也非常简单，就不写了。（咱们注重思想哈，不是偷懒）

3.问题化简(Problem reduction).

指将原问题变换为另一个问题的实例，这种问题的算法是已知的。（归化思想）转换的难题在于如何找到一个变换的目标算法。

线性规划就是一个很好的目标。我们这里以背包问题为例。

在之前的文章中，我们曾用回溯法解决01背包问题。实际上，背包问题的本质是线性规划。了解了线性规划的本质后，才能更好地解决高维的背包问题。

在高中大家都学过线性规划。线性规划是一种非常好理解的方法，但我们高中的运用大多局限于二维空间。我们将它拓展到n维空间。

在二维空间里，一条的直线Ax+By+C=0能将二维平面分割为两部分。

同样，在三维空间里，Ax+By+Cz+D=0表示一个二维平面，可以将三维空间分割为两个部分。

那么，拓展到n维呢？

一个(n-1)维的分割线，可以将一个n维物体分作两份。

看这样一条分割线：

A0t0+A1t1+A2t2+...+Antn+An+1=0

我们把n个变量看做n个自变量tn，也就是在n维空间里思考。利用一系列约束条件的方程求出可行域，在寻找最优解——一切就变得想高中时一样好理解，自然而然地上升到了n维。哪怕你不清楚n维空间长什么样，在2、3维空间下思考，起码能让问题变得更形象一些。

那么，对于背包问题，我们可以转化为以下不等式组：

其中ni表示第i个物品取几个，vi表示价值，wi表示重量。

0<=w1n1+w2n2+w3n3+...+wnnn<=W

V= v1n1+v2n2+v3n3+...+vnnn

求V的最大值。

（对01背包问题而言，nk只能取0或1.）

背包问题就这样一步步转化为线性规划的问题啦。然而，这个问题也不那么好解决。这里我们就不解决了，等到未来的某天再填上这个坑吧。（相信我们未来还会再遇到背包问题的）

那么，这期的文章就到这儿结束了。

因为一直觉得总结部分很水，所以这次去掉了。。。

感觉这期的代码都和算法本身关系不大？

的确，这次的算法都不是那么的标准。

但依然提供给我们更多看问题的角度，要学会动态地看问题。

那么，赶完这期的我又要继续忙别的去了。。。

考试在即，无力脱身，让我们下次再见~！

#

-The End-

文/即将要考cpp十分紧张的舟新手

版/同时还要考微积分的没时间学数学的小白舟

码/猛然发现英语已经好久都没学的工人舟

审/貌似好久都没更新的很忙的老板短短的路走走停停

#