阿基米德为什么没能撬开积分学的大门?
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2022-09-20 22:07
上一篇，我们回顾了历史上的几个计算事件，见识了各种计算表格，但其实是让大家一睹几个初等函数那草创未就的时刻。
即幂函数、三角函数、对数函数以及它们的反函数。这些函数不仅本身挺有用，还能用来逼近其他函数。
最后说到开普勒使用对数从天文观测数据中成功发现了行星运动第三定律，这不失为一种化曲为直的妙方。
今天，我们再来见识一种以直边图形逼近曲边图形，以至于求得后者面积的方法。
但是，这么做会遇到两个刺头，无穷多项和无穷小，且看古人怎么破。
1 古人如何求面积
微积分的英文名叫
Calculus
，计算、演算的意思。而这个英文单词来自拉丁文，是指用作计算计数器的小卵石。
一般认为，现代微积分是由 17 世纪的牛顿和莱布尼茨在前人的大量工作之上独立发展起来的，包含某种 演算法则 的一门理论。
但就其思想而言，早在古希腊、古代中国和印度等地已经出现，因此我们先来回顾一下千百年前的相关工作。
微积分这个词义而言，它是一个缩写，包括两部分：
Differential calculus
和
Integral calculus
。其中一部分就是积分演算，从几何角度看就是求面积，
我们先来回顾它。
¸ 穷竭法
我们来看看古人计算面积的几个典型案例。由于古巴比伦和古埃及过于遥远，此处略过。
还是从古希腊那会说起吧。
毕达哥拉斯学派，信仰万物皆数。但发现数中存在不可公度性问题，直接摧毁了他们的信仰。
除了 ，也有说法是他们崇尚的图形五角星（logo）里也被人发现了不可公度量，隐藏着黄金分割比例以及无理数 。
年代久远，也只是传说，但如果是真，将直接摧毁他们的信仰。因为在我们看来这是黄金分割，是美的化身，而在他们眼里这可是魔鬼的利剑，直刺他们的胸口。
之后的古希腊数学家似乎患上了焦虑症，普遍具有对于无理数以及无穷数列求和的抗拒心理，因此一度让毕达哥拉斯学派开创的数学陷入危机。
这之间应该还受到了著名“杠精”芝诺的影响，他提出了令人十分头痛的一系列悖论（见附录）。
为了应对这些挑战，伟大的欧多克索斯提出了几何量为基础的比例论，被欧几里得收录于《原本》中。
为了避免无理数，比例论不使用数字来表示这种比，只拿整数来论证比例间的等式关系，比和比例的观念是紧密地与几何连在一起的。
为什么将几何和算术加以区分？可能几何更具直观性，如单位正方形的对角线这样的无理长度，在几何直观上很清楚，作图也是有限的过程，而根号
2
无论它的表达形式是序列、小数还是连分数，都会表现为一个无穷步骤的过程。
而像论证毕达哥拉斯这种定理，只需要论证边长乘积（面积）之间的关系，不需要将其量化，数字似乎可以被边缘化。
欧多克索斯这么做一定意义上挽救了古希腊数学，但也带来了后遗症，例如硬把数同几何割裂开了。使得此后两千多年里几何学成为严密数学的基础，而算术和代数成为附庸，相关问题往往被转化为几何问题加以研究。
后世几何学家如欧几里得的大作《原本》，以 及阿波罗尼奥斯的大作《 圆锥曲线论》，无不说明欧多克索斯建立的理论框架是成功的。
欧多克索斯的另一个功劳是建立了数学上以明确公理为推理依据的演绎论证体系，其主要动机是为他的比例论提供逻辑依据。这点亦被后人欧几里得所发扬光大。
可见，欧多克索斯的确是古希腊数学史上继往开来的一位最重要的大数学家。
欧多克索斯之后没几十年，亚历山大大帝开启希腊化时代，古希腊的数学似乎也跟着发生了一些微妙的变化。
之前的数学家将数学思维同实际需求割裂开来，他们可以从几何学角度考察所有矩形的啥啥性质而不去关心一个矩形的实际大小。而希腊化时代，数学向工程化方向演变，更接地气了。
打造了若无则万古如长夜的巨作《原本》的欧几里得正是处在这个时代的前期。
欧几里得几何虽然冠绝天下，但等你大功练成准备大干一场时，你会发现，貌似连圆的面积都不会计算啊。
欧几里得的《原本》里记录了欧多克索斯使用穷竭法，用圆的内接和外接正多边形证明了圆周率是一个常数，但并没有去具体计算。
欧几里得虽然属于希腊化时代，但他的著作还是以汇集前人成果和思想为主。 数学上的微妙变化更体现在后面年代以阿基米德为代表的那些数学家身上。他们会更专注于计算长度、面积和体积以及在力学上计算重心等有用的更加接地气的问题。由于穷竭法在后面会让阿基米德如鱼得水，此处有必要作个介绍。
古希腊的安提芬（Antiphon，约前 480 - 前 403）最早表述了穷竭法的朴素思想，他在研究化圆为方问题时，提出了使用圆内接正多边形面积去穷竭圆面积的思想。
欧多克索斯提出一个命题：任意给定两个正的量，在第一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，当重复次数足够多的时候，剩下的量必定小于第二个量。
也就是说通过重复这种方式可以使得第一个量变得任意小。这个定理相当于排除了无穷小量。因为如果上述命题中第二个量取无穷小量，将与无穷小量的定义相矛盾。
欧多克索斯将自己的比例理论和安提芬的想法相结合，正式提出了穷竭法，特别用于论证几何体的长度、 面积及体积 相关的比例问题。
正如一个无理长度由它两边的有理长度来确定一样，更一般的末知量也可用已知的图形来任意地逼近。特别是，用直边的图形去逼近曲边的图形。
欧多克索斯给出的例子是用内接和外切多边形来逼近圆，以及用一层层的棱柱来逼近棱锥。基于比例理论和三角形面积公式，上述两种情形中的逼近图形，即多边形和棱柱的面积和体积都是已知量。
欧多克索斯还使用内接和外接多边形来逼近圆周，从而证明任一圆的面积跟它的半径的平方成比例。
穷竭法并不意味着使用无穷多步骤来证明面积跟半径的平方成比例，而是在有限步骤内可以否定不成比例性，因此期间往往需要用到归谬法。穷竭法在论证时也会避免涉及无穷序列。
他那个时代貌似对圆的具体计算并不感兴趣，因为他证明了圆周率是常数，但并没有去计算它的值。
后来处于希腊化时代的阿基米德正是继承这一思想将穷竭法应用到实际计算中。
¸ 以直代曲求面积
我们古代相对比较务实，所著的《九章算术》里就会涉及计算圆周的面积，里面提到 径一而周三，即使用常数 。
同样也将圆周率视为常数，但并没有去整虚头巴脑的证明那套。
之后，东西方分别想办法计算圆周率的近似值。
阿基米德（Archimedes，约前 287 - 前 212）进一步发展穷竭法，并用于计算几何体的面积和体积问题。
阿基米德在静力学上的工作是独创的，但在数学方面的很多工作并没有特别新颖之处，他往往受前人启发去研究相关问题，进而处理了很难的或者前人没搞定的问题。
阿基米德经常谈到他是读了前人著作后得到启发想起搞这些问题的。例如，欧多克索斯关于棱锥、圆锥以及圆柱的著作启发他去研究球和圆柱，化圆为方的问题启发他搞抛物线弓形的求积问题。
阿基米德在几何证明中需要的概念，比例论和穷竭法，均是出自前人欧多克索斯之手。但也有他的独到之处，例如用多变形来穷竭抛物线弓形，类似于欧多克索斯对圆的穷竭，但也有所不同，他是直接求得图形的面积，不仅仅是为了论证它跟另一个图形成比例。
用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，从而求得圆周率的近似值；阿基米德最终计算到正 边形，并得出 的结果。
看个动图感受一下不同正多边形对圆周率的近似情况，
他以内接正六边形开始，逐次加倍边数以至逼近圆周率。
刘徽使用正 边形，先得到圆周率的近似值为 ，后再用圆周率捷法计算出正 3072 边形的面积，求得 。
之后的事情大家都知道，南北朝时期的数学家祖冲之进一步提升了 精度，此处不展开。
圆的面积大家都想到类似的方法来逼近了，那如果是其他曲线呢？如何计算它们围成的面积呢？
这种问题，总体思路还是类似的： 用面积容易求解的直边图形（如矩形、三角形等）去填充曲线围成的区域 ，用这些直边图形面积之和去逼近曲边图形的面积。
直观上看，只要剖得足够细致，空隙小到可忽略，总能逼近到让人满意。
那这个方法能不能拿来计算其他曲线围成的面积呢？
接下来我们来看看阿基米德如何计算抛物线与一条直线段围成的弓形图形的面积。
阿基米德就这个问题从物理和数学两方面给以了解答。
对于数学方法，阿基米德选择一系列三角形来填充抛物线围起来的图形，试图用已知搏未知。
就是使用面积可求的、相互不重叠的三角形塞满这个弓形，这个弓形的某些边缘是曲线，因此有限个三角形无法填满它，只能用无数个三角形去穷竭它。
证明的主要思想是将抛物线弓形剖分成无穷多个三角形，然后把所有三角形的面积加起来。
但为了使得构造出来的一系列三角形的面积容易计算，这些三角形的剖法是有讲究的。
例如，下图中最大的那个浅蓝色三角形（）的顶点 不是随意选的，而是该点处的切线与底边 平行。
阿基米德证明了每个浅绿色三角形（ 和 ）的面积是蓝色三角形面积的八分之一。
阿基米德通过计算发现：每论新增加的三角形们的面积是上一轮三角形们面积的 。
对照图来看，就是 个浅绿色三角形的面积之和刚好是 个浅蓝色三角形面积的 ， 个浅黄色的三角形的面积之和是 个浅绿色三角形的 ，也就是 个浅蓝色三角形面积的，一直以这样的比例增下去。
我们可以看个特例，选一个特殊的弓形，如下图所示，再结合坐标系，用后世的坐标几何（解析几何）很容易验证上述结论。
现在可以说抛物线弓形可用这样的多边形面积来逼近， 它是在原来的三角形 上加添一系列三角形而得出的，即所求弓形的面积为
然后，它的值怎么算呢？毕竟有无穷多项啊。这是一个几何级数，即等比数列，用我们现在的知识自然很容易计算。
有些资料说，阿基米德使用几何方法求解下式，
上式从几何上看对应下图，
这图显示了一个单位正方形，该正方形已被分解为无数个较小的正方形。每个连续的紫色方块的面积是前一个方块的四分之一，拿掉右上角那块，紫色块占三分之一，它们的总面积正是我们上面要求的和。
然而，紫色方块与任何一组黄色方块全等，因此覆盖了单位方块面积的 。因此，弓形面积为三角形 面积的 倍。
这看似合理，也貌似符合古希腊数学家惯用几何方法处理代数问题的思路。
但这实际上这是后来人的思想了，虽然可以说是等价，但这样子并不能反映出古希腊人的逻辑。
古希腊人对无穷非常谨慎，一方面反映在不可公度性（无理数），另一方面可能深受芝诺悖论（见附录）的影响。
对于无穷，他们是很认真的，概念上还提出了潜无穷和实无穷之分。那挥散不尽的无穷项像幽灵一样的总是让严谨的古希腊人心理抗拒。
那么疑问来了，阿基米德如何应对这个棘手的问题呢？虽然现在已经不再使用，但还是有必要了解一下他们所谓的穷竭法的套路，以有穷论证潜在的无穷。
简而言之：阿基米德处理的是这个级数的前面若干项的部分和，并使用双重归谬法论证这个部分和与 可以任意接近。
取有限项来任意逼近某个值，就这里的问题而言，即弓形面积与 中取有限项之和的差是可以比任何预先指定的量要小。
然后，阿基米德用归谬法证明抛物线弓形的面积 不能大于也不能小于 ，其中 是三角形 的面积。
他首先证明该等比数列的前 项满足下式，
即前 项再加一项 ，把剩余的无穷多项一次性补足，从而实现避免处理无穷项。
我们可以用几何级数前 项之和的公式来证明。
（1）证明：若面积 大于 ，那他可以取有限个三角形，使其和与弓形面积之差小于任一给定的量，因此可使有限个三角形的面积和 大于 ，即
假设 有 项，则但据式 有，
因此，
与前面式子矛盾。
（2）假设抛物线弓形面积 小于 ，则 是一个确定的数。由于阿基米德所作的三角形是越来越小趋近于 的，于是可以得到一系列内接三角形，使得它们满足
其中 是序列中的第 项，它在几何上代表 个三角形之和。但由式 有，
于是
从而得出，
与内接三角形之和总是小于弓形面积矛盾，因此 不成立。
这一步证明的直观思路是：只要取得足够多项，让 尽可能小， 与 之间的差距也会尽可能地小，因此 随着三角形的增多逐渐趋近于 。
当然，阿基米德实际上求出了无穷几何级数的和，因当式 中的 变为无穷时 趋于 ，于是无穷级数之和为 。
这证明是不是相当漂亮和完美！感觉内含极限思想，并且比较好地规避了无穷项求和的心理障碍。
这个方法如此优秀，为什么在后来的教材中没有流行呢？
我们不妨反过来思考一下，这种方法有什么不足之处呢？
它能否也可以拿来计算圆的面积啊。但你可以试一下，它似乎又不行，能出来 这样的有理数吗？
阿基米德的三角形穷竭式逼近法在计算抛物线弓形面积时取得了辉煌的成功，但它并不适合其它更多曲线，即便在古希腊人那里并没有那么多种曲线，但这个方法并不适用于计算它们的面积。
阿基米德也想到用矩形来逼近曲线下的面积，但在处理像抛物线弓形面积时并没有用三角形来得优美，因此并没有成为一种通用方案。
这种技法似乎还缺了点火候，像一坛老酒那样还需要酝酿，只不过这时间似乎长了点，将近两千年。
总之，阿基米德的这个方法需要针对正涉及的图形设计专门的求和方案，因此缺乏通用性。
这是市场最大的痛点，好的理论工具就得有通用性。常见的曲线（图形）拿来，可以使用同一个方法求面积。
除此之外，阿基米德还各个击破地搞定了很多面积公式和体积公式，离创立积分学似乎似乎只有一步之遥，但其实他也有时代局限性。
阿基米德的局限：导致他的方法缺乏通用性的原因是多方面的，比如对无穷级数的规避，更不用说对其进行运算，这将在牛顿时代兴起；古希腊那个时代的整体局限性，对无理数的抗拒，以至于令代数方法的独立发展几乎停滞，更不用说坐标几何以及函数这些概念和方法。
阿基米德使用了 穷竭法 成功计算了抛物线弓形面积，避免了直面 无穷级数 和 无穷小 ，似乎非常完美，但似乎又错过了什么。
阿基米德有句名言：给我一个支点，我就能撬动地球。
那么，给阿基米德什么工具，他就能撬开积分学呢？
2 附录
¸ 1、穷竭法
穷竭法是一种求图形面积的方法，其通过构造一个内接多边形序列，使这些多边形的面积收敛到所求图形面积。
如果这个多边形序列构造得当，那么其第 项的面积与所求图形面积之差在 足够大时便可以小于任意给定正数。
因为这个面积差可以任意小，是故该图形面积的可能值便系统性的被该多边形序列中的成员的面积所给出的一系列下界穷竭掉。
穷竭法在应用时一般须配合归谬法。具体来说，为了求某图形面积，而将其与第二个图形来作比较。证明过程牵涉到先假定所求面积大于第二图形的面积，并证明其伪，接下来假定所求面积小于第二图形的面积，并将其也证伪。
¸ 2、芝诺悖论
二分法悖论：由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。因此，运动不可能开始。
相当于产生了如下数列，
这种描述要求一个人完成无限数量的任务，芝诺认为这是不可能的。
该序列还提出了第二个问题，因为它不包含要运动的第一距离，因为任何可能的第一距离都可以分成两半，它成不了第一距离。因此，运动甚至无法开始。那么自相矛盾的结论将是，在任何有限距离上的运动既不能完成也不能开始，因此所有运动都必须是一种幻觉。
阿喀琉斯悖论：阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面 米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到 米时，乌龟已经又向前爬了 米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这 米时，乌龟又已经向前爬了 米，阿基里斯只能再追向那个 米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！
这些悖论是古希腊数学家对无穷级数可以产生有限和的想法产生抗拒心理的原因。
不可能在有限的时间内遍历无穷多个事物。这里的问题并不是有限的总量，这可以通过求极限来应对，而是完成一项具有无限步数的任务，由无限的定义可知，达不到最后一个步骤，因此该任务无法完成。
飞矢不动: 芝诺认为，物体为了发生运动，必须改变它所占据的位置。他举了一个飞行中的箭的例子。在任何一个瞬间，箭头既不会移动到它所在的位置，也不会移动到它不移动的位置。它不能移动到它不存在的地方，因为它移动到那里没有时间流逝；它不能移动到它所在的地方，因为它已经在那里了。换句话说，在每一个瞬间都没有运动发生。如果一切在每一瞬间都是静止的，而时间完全是由瞬间组成的，那么运动是不可能的。
前两个悖论划分空间，而这个悖论从划分时间开始 — 不是划分为片段，而是划分为点。
三个悖论，一个说没有第一步，因此运动不能开始；一个说没有最后结束那步，因此任务完不成；一个说每一个瞬间都是静止的，运动在任何时刻都不能发生。
芝诺对数学的影响
严格来说，芝诺并不是数学家，用现在的话说更像个杠精。但他是否影响了古希腊的数学发展呢？影响肯定是有的，他那些悖论至少让古希腊人对实无穷产生了敬畏和抗拒，甚至因此而改变了主流研究方向。
柏拉图的《巴门尼德》讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中讨论芝诺悖论应该是常事。
而欧多克索斯有段时间正是在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。在稍后的时间里创立了几何量的比例论（《原本》第五卷中的主要内容），从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机；并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。
在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。
毕达哥拉斯学派曾假定存在无穷小的基本线段（初等线段），想以此来克服因发现不可公度量而引起的困难。芝诺所反对的正是这种处理无穷小的不准确的做法，从而迫使毕达哥拉斯学派的下一代数学家去探求更好、更准确的基础。
因此，有数学史家说：芝诺毕竟以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系明显地摆了出来，并进行了辨证。
休息一下，未完待续