【线性代数】行列式的导数

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在讨论曲线坐标系的积分时，通常都会出现行列式这个东西，作为“体积元”的因子。在广义相对论中，爱因斯坦场方程的作用量就带有度规的行列式，而在对其进行变分时，自然也就涉及到了行列式的求导问题。我参考了朗道的《场论》以及《数理物理基础--物理需用线性高等数学导引》，了解到相关结果，遂记录如下。

设

是一个n阶矩阵，其中每个矩阵元素都是t的函数。其行列式为|A|，自然地，考虑

由行列式的基本性质，有

其中|A(aij+ε)|是将矩阵A的aij换成aij+ε后的行列式的值，而Aij是行列式|A|关于aij的代数余子式。上式给出

也就是说，代数余子式可以表示为行列式的偏导数。

那么

（为了得出第一个等式，只需要给矩阵A的每个元素都增加一个无穷小量，然后把增量后的矩阵的行列式展开，保留一阶无穷小项。）

所以

其中

正好是矩阵A的逆阵A−1的元素，而daijdt则是矩阵dAdt的元素。第一次求和即把两个矩阵相乘，得

而第二次求和则相当于取行列式的迹，所以

用张量分析中的符号，则更加简单了，记
，则

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