前言

MML：Mathematics for Machine Learning

二阶与三阶行列式

二阶行列式

「记作」

「定义」

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：

注：行列式本质是一个数值，比如

「举例」

❝

答：

❞

三阶行列式

「记作」

「举例」

❝

答：

❞

全排列及其逆序数

全排列

「定义」

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

「公式」

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

「举例」

用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

❝

答：3×2×1=6种。

假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。

故为3×2×1=6种

❞

从上面例子可以发现：

❝

当有n个不同数字进行排列时

第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择...第n个位置有1种选择，一共有n*(n-1)(n-2)...21种可能，也就是n!种排列方式。

❞

我们用表示n种不同元素的所有排列的种数，则

1.2.2 逆序数

「概念」

• 标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
• 逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
• 「排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数」

「计算排列的逆序数的方法」

n个元素（依次为1,2,3...n-1,n），规定从小到大为标准次序

设为这n个元素的一个排列，对于元素(i=1,2...,n)，如果比大的且排在前面的元素有个，那么就说这个元素的逆序数是。

全体元素的逆序数总和为t，那么

即是这个排列的逆序数。

「举例」

求排列32514的逆序数

❝

答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0

2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1

5的前面没有比5的数，逆序数为0

1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3

4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1

综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

❞

「补充概念」

• 齐排列：逆序数为奇数的排列
• 偶排列：逆序数为偶数的排列