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一、引子
在德国数学家高斯的一部传记中，作者引用了下面这段话：有一个异乡人在巴黎问当地人，“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？”又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一直享誉世界呢？”数学家回答，“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”
二、笛卡尔以前的法国数学在中世纪以前，数学的成就主要是在一些文明古国取得的，例如埃及、美索不达米亚，中国、印度和阿拉伯，当然还有希腊。可以肯定的是，如果没有希腊人的贡献，数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里，整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外，最有名的数学家当数巴格达的花拉子密，正是他命名了代数学，在阿拉伯语里，al-jabr 意为还原移项，译成拉丁文后就成了 algebra，这也是今天英文里的代数学。十四世纪是欧洲黑死病流行的时期，毁灭了将近四分之一的人口，数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局，法兰西开始崭露头角，逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷（ORESME），他出生在诺曼底，是天主教会的主教，同时又是亚里士多德著作的法文翻译，中世纪最伟大的经济学家。他写过五部数学书，和他的译文一样文笔优美，为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学，影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。十五世纪开始了欧洲的文艺复兴，随着拜占廷帝国的瓦解（君士坦丁堡最在1453年落入土耳其人之手），难民们带着希腊文化的财富流入意大利。奥登堡发明了活字印刷，印刷术得到了改进。在这个世纪的尾末，哥伦布到达了美洲，不久，麦哲伦完成了环球航行。可是数学进展仍然不大，十五世纪最杰出的数学家是法国人丘凯（CHUQUET），他出生在巴黎，在里昂生活和行医。丘凯率先考虑了负的整数指数，他的名著《算术三编》讨论了这样三个问题，有理数的计算、无理数的计算和方程论。他还提出了均值法则：如果A、B、C、D是正数，则（A+B）/（C+D）处于A/C 与 B/D 之间。十六世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达（VIETE），出生在法国中部的普瓦捷（许多年以后笛卡尔也在这座城市上了大学）。韦达是个律师和议员，却像后来的费尔马一样，把绝大部分闲暇奉献给了数学。韦达的数学成就今天大多为我们所能理解，如中学数学里确立一元二次方程根和系数的关系的韦达定理（对三次方程他也有天才的贡献），三角学中的半角公式，他还是第一个提出代数系统符号化的人。韦达倡导用辅音字母表示已知数，元音字母表示未知数。后来被笛卡尔的想法所取代，后者用拉丁字母的开头几个 (a, b, c) 表示已知数，尾末几个(x, y, z) 表示未知数 。从以上事实我们可以看出，法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平，虽然那时候欧洲政治、经济、艺术和科学的中心是在亚平宁半岛。正是在那个时期，（现今的）初等数学基本上羽翼丰满了。同时，这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。
三、笛卡尔和天才的世纪在笛卡尔出生以前，意大利人在世界文明的进程中走在最前列，他们在数学和科学领域也处于领先地位，塔尔塔里亚（口吃者）与卡尔达诺在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他们两人的成就合起来不低于同时代的法国人韦达。可是，这两位同胞数学家却相互控告对方剽窃，结果弄得两败俱伤。1564年出生的伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授，他发明的扇形圆规通用了两个世纪，同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解，他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙，证实了哥白尼的太阳系理论，却不幸遭到罗马教会的迫害，含冤而死。伽利略是在比萨斜塔做实验时发现自由落体定律的，他任比萨大学数学教授时年方25岁，两年后就离开了，后来到了威尼斯附近的帕多瓦大学。他第一次听说荷兰人发明望远镜是在1607年，他已经43岁，之后才自己动手制作望远镜，观察天象，他发表支持哥白尼理论的著作是在1630年，那年他66岁。也就是说，伽利略的两大科学发现相隔了差不多有四十年。正是在这期间，法国诞生了多位数学天才，德沙格、笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔，法国数学全面超越了意大利。英国哲学家兼数学家怀特海称十七世纪是天才的世纪，其中以法国人所做的贡献最多。德沙格建立了射影几何学，但他和他的几何学的光芒被晚三年出生的笛卡尔给掩盖了。和大多数天才人物一样，笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故，身体羸弱，已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养，后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养，看出这个孩子心智和身体上的差异，要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔，除非想去教室和别的同学们在一起，否则不必离开自己的房间。从那以后，笛卡尔终身保持了晚起的习惯，包括他在部队当兵时，当他需要思考问题时，就躺在床上冥思苦想。笛卡尔后来回忆，那些在冥思中度过的漫长而安静的早晨，是他的哲学和数学思想的真正来源。据说，他是在床上看见天花板上苍蝇的运动才发明坐标系的。值得一提的是，尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉，却是个勇敢的军人，并曾被授予中将军衔，但被他拒绝。笛卡尔在数学上的主要成就是创立了一门数学分支——解析几何，同时他又被黑根尔赞誉为“近代哲学之父”。作为一个二元论者，笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来，其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思，故我在”。而在方法论上，笛卡尔则是一个彻头彻尾的怀疑主义者，对他来说，怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。笛卡尔认为，我们从童年时代起就接受了许多偏见，如果得不到及时纠正，会持续到成年，进一步他指出，“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”事实上，笛卡尔认为，亚里士多德的三段论只是在推导已知结论时才有用，而不能用以发现或创新。可是，鉴于当时教会和政院哲学的权威，为了避免伽利略所受的那种牢狱之苦，笛卡尔的《几何学》是作为他的哲学著作《方法论》的附录三悄然出现的，当然也不在正统的教科书之列。比笛卡尔晚两辈的英国人牛顿是从社会传闻而不是从课堂上了解到了笛卡尔的新哲学和新几何，开始相信物理世界是由运动着的物质粒子所组成的，并掌握了用代数方法解决几何问题的方法。那以后不久，身为剑桥大学三一学院研究生的牛顿便在自己的农庄里（因为鼠疫放假）构想了微积分学和万有引力定理。在笛卡尔时代，他在数学上有好几位竞争对手。例如，毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马，他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”，它是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的推广和提升，虽然结论截然相反。直到上个世纪末，这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前，他经常接到费尔马的挑战，例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法，这些挑战有的是以书面的形式提出，有的是通过一位叫梅森的神甫传达。说起这个梅森神甫，虽然算不上是伟大的数学家（仅以梅森素数命名），却是十七世纪法国数学不可或缺的人物。梅森神甫经常乘自己外出布道的机会，到各地秘密会见数学家，并传达各种最新的数学成果或发现。另一方面，他又在巴黎举办每周一次的数学沙龙，参加这个沙龙的人当中就有一对叫帕斯卡尔的父子。那时候还没有科学院之类的组织，梅森神甫的沙龙后来成为法国科学院的雏形。就像如今各国媒体每每聚焦娱乐、体育和商业明星，那个时代的智力生活才是巴黎人瞩目的中心。老帕斯卡尔是个税务局的官员，业余研究数学并发现了帕斯卡尔螺线，他的妻子去世以后，为了年幼儿子的教育，他没有再婚，并把家从外省迁移到巴黎。父亲的教学方法注重解决问题，而不是材料的灌输，从而提高了儿子动手实验能力。与此同时，考虑到儿子的体质，做父亲的侧重于语言教育，至于数学方面，他只讲授一些基本原理。这反而使得儿子对这门学科更为好奇和敏感，据说帕斯卡尔12岁那年，从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理，即三角形的三个内角和等于两个直角之和。从那以后，父亲才开始教授儿子欧几里德几何，不久父子俩一同参加了梅森神甫组织的数学沙龙。帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立（与费尔马合作）、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理（圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线）。除了数学上的成就以外，帕斯卡尔还发明了计算机（初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算）、流体压力定律（水压机便是这个定律的一个应用），计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域，帕斯卡尔取得了同样非凡的成就。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品，在宗教方面，他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义，他建立的直觉主义原理对于后来卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。在达到盛名之后，帕斯卡尔和笛卡尔不约而同的选择了隐居生活。笛卡尔说过，“ 我只要求安宁和平静。” 尽管他和帕斯卡尔之间也有争论，例如在真空是否真的存在这个问题上，但均是在理智和学术的范围内进行的。笛卡尔成年以后，大部分时光居住在荷兰，在这个多处地方低于海平面的国家，他不愿意把自己的住处告诉别人，包括一些亲近的朋友，为此还多次更换寓所。他的座右铭是：“隐居得越深，生活得越好。”而帕斯卡尔既没有进过学校，也没有谋求公职，后来干脆进了巴黎郊外的一座修道院。无论帕斯卡尔还是笛卡尔，他们的创造力一直持续到了暮年。相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺，费尔马把自己的聪明才智全部奉献给了数论。这当然与费尔马有着自己的职业、需要养家糊口有关，但我认为更重要的是，费尔马与高斯、欧拉这三个对数论有杰出贡献的数学家，他们已经从数论之美中获得了满足，因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系，优美、简洁、智慧是这门科学的特点。记得希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时写到，“数学中没有一个领域能够像数论那样，以它的美——一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华。”画家康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”
四、从费尔马到庞加莱自从费尔马于1665年去世后，法国数学界有半个世纪的沉寂，之后从1820年代开始，接连诞生了一批数学大师，几乎每隔七、八年就有一位，依次是克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、蒙日、卡诺、傅立叶、泊松、柯西、蓬斯莱、伽罗瓦，可以说法兰西源源不断地滋生出大数学家。他们中的每一个都成就非凡，如果放在其他国家里，都可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲，仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站等就有百余处，巴黎二十个街区也是以阿拉伯数字命名，并以平面几何学中的双曲螺线为序排列。
以下我们选择其中的七位数学家，他们后来走上不同的人生道路，但都能从不同的角度给我们以启示。达朗贝尔，偏微分方程的开拓者，最早写出了动力学原理的著作，著名的《百科全书，或科学、艺术和工艺详解词典》的副主编（主编是哲学家狄德罗）。这是世界上第一部影响巨大的百科全书，网罗了一大批启蒙思想家，并在编撰过程形成了一个被后人称之为“百科全书”的哲学流派。他们反对封建特权制度和天主教会，向往合理的社会。主张一切制度和观念要在理性的审判庭上受到批判和衡量，同时推崇机械工艺和体力劳动，从中孕育了资产阶级务实谋利的精神，并为1789年的法国大革命作了舆论准备。拉格朗日是拿破仑的亲密朋友，后者称他是“数学领域高耸的金字塔”，并让他做上了参议员。他在微积分学的完善、微分方程、变分法、数论和群论等方面都有许多开创性的工作，他的名字遍布数学的各个领域。可是中年以后，拉格朗日的经历与牛顿有着相似之处，即数学热情锐减，正如他写给达朗贝尔的信中所说的，“我开始感觉到我的惰性一点点地增加，我不能说从现在起还能再干十年数学。矿井已经挖得够深了，除非发现新的矿脉，否则就不得不抛弃它了。” 果然，他转向了形而上学、宗教史、思想史、语言学等的研究。拉格朗日活得还算长寿，在有生之年他看到高斯完成了一部分伟大的事业，发现他当年认为数学已进入衰败时期的预想是错误的。拉普拉斯也是拿破仑的亲密朋友，作为一个政治上的机会主义分子，他在法国大革命最动荡的日子里，无论哪个党派得势，他都能逢场作戏，迎合当权者。他在概率论、微分方程、测地学和天体力学领域，都做出了杰出的贡献，并享有“法兰西的牛顿”的称号。事实上，他毕生都积极投入把牛顿的万有引力定律应用于整个太阳系这项事业中。由于拉普拉斯在政治上比拉格朗日花费了更多的精力（因此树立起谄媚者的形象），他无暇顾及其他。早年的学生拿破仑把一切荣誉给了他，又任命他做了内政大臣；王朝复辟以后，他随即效忠于路易十八，又被封为候爵，并亲手签署了流放恩人的法令。蒙日，画法几何的创立者（开拓了机械制图和机械工程），微分几何之父（用微积分学研究曲率，启发高斯，进而黎曼，发展出应用于相对论的黎曼几何学）。出身卑微，父亲是磨刀匠，后来成为军事学院的教官，与拿破仑结为密友。后者派蒙日为特使前往意大利接受作为“战争赔偿”的艺术品，当他发现有比布置卢浮宫多出六倍的绘画、雕塑作品被装船时，出面制止。否则的话，今天罗马梵蒂冈博物馆和佛罗伦萨乌菲茨美术馆里的许多价值连城的藏画都不会留在意大利了。蒙日后来与裁缝的儿子、数学家傅里叶一起随拿破仑远征埃及，在一次战斗中拿破仑还救了他一命。蓬斯莱（又译蓬赛列），数学界的马可•波罗，他早年参加拿破仑的军队，1812年，当法军从莫斯科退却时他和其他数十万士兵一起被捕。在这批法国战俘中， 惟一受益的是这位年仅24岁的数学家。当时他身边什么书也没有, 就开始在战俘营里构思巨著《论图形的射影性质》。他被释放回国后, 于1822年在巴黎出版了此书, 这部著作开创了射影几何史上的所谓“辉煌时期”。事实上，射影几何因其引人瞩目的美及其证明的优雅，成为十九世纪几何学家特别钟爱的研究课题。而对于业余爱好者或某一阶段感兴趣的专业人士，它都是一个容易学到并有所成就的学科。柯西，法国大革命那年出生在巴黎。极具文学天赋和诗才，也是帕斯卡尔之后所有法国数学家中最虔诚的。柯西一家避居乡下时和拉普拉斯做了邻居，后来父亲出任参议院的秘书，因此小柯西又有机会得以见到拉格朗日，他羸弱的身体和聪明使得参议员给了同僚这样的忠告，“在17岁以前，不要让这个孩子摸数学书。”“如果你不赶快给他一点可靠的文学教育，他的趣味会使他冲昏头脑。”做父亲的牢记在心，后来他的儿子获得了学校拉丁诗比赛的头名和一次全国比赛的胜利。但这不妨碍柯西成为那个时代仅次于高斯的数学家，他在数学分析、实变和复变函数论、微分方程、线形代数、概率论和数学物理方面都有杰出的贡献。伽罗瓦，天才的最典型的例子，他21岁那年死于情人决斗，此前还两次作为政治犯被捕入狱，却是十九世纪最伟大的数学家之一。在决斗前夜他以致友人书信的方式写下自己的数学发现，包含了所谓的伽罗华理论，这个理论奠定了群论的基础。事实上，他是严格意义上用“群”（GROUP）这个词的第一人，后来人们发现，群的概念不仅是抽象代数在二十世纪兴起的重要因素，在几何学中也起到立法分类的作用，同时它还推动了量子力学的发展。伽罗瓦之所以会卷入愚蠢的决斗，固然与父亲含冤自杀，他本人两次报考大学未果，参与政治活动被学院开除，有创见的论文被科学院忽视等事件有关，也与他自小偏科，被对数学的疯狂主宰不无关系。在伽罗瓦去世二十多年以后，法国才诞生了一位大数学家，他就是因为以其名字命名的猜想获得解决而重新引起全球公众瞩目的庞加莱，他的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。他还是数学的天才普及者，其平装本的通俗读物被人们争相抢购，并被译成多种文字，在不同的国度和阶层广泛传播，就如同后来的英国理论物理学家、《时间简史》的作者斯蒂芬•霍金那样。庞加莱出生在法国东北部小城南锡，父亲是一位著名的医生。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导，却不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于15岁，不过很快显露出非凡的才华。不久，他被保送到巴黎综合工科学校（就是伽罗瓦两次报考未被录取的大学），开始了他的数学生涯。庞加莱从未在一个领域作过久的逗留，一位同僚戏称他是“征服者，而不是殖民者”。整个数学都是庞加莱的领域，但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。以他名字命名的猜想曾并被悬赏一百万美元。这个猜想说的是，任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。有意思的是，这个猜想的推广，即四维和四维以上的情形先期被两位美国数学家证实，加上证明原猜想的俄国人佩雷尔曼，一共有三位数学家因为研究它先后获得菲尔兹奖，这在数学史上绝无仅有。在数学以外，庞加莱的贡献也难以胜数：相对论、光学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源，等等。庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》，他是唯心主义约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。同时，他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观是自然数，这使他成为直觉主义的先驱者之一。正是由于这些成就的取得才使他既当选为法兰西科学院的院士（后成为院长），又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。
五、结束语法国人喜欢幻想并善于幻想，除了涌现出无数杰出的诗人、画家和音乐家之外，他们在数学方面提出了许多伟大的猜想，例如费尔马定理、庞加莱猜想，均出自法国人的头脑，还有一个中国人熟知的哥德巴赫猜想。在徐迟的同名报告文学里，谈到了哥德巴赫这位18世纪的德国中学数学老师，他在给瑞士大数学家欧拉的信中提出了自己的猜想，这个猜想至今仍无人能够证明。但不久以前，有人在笛卡尔散失的遗作里发现，早在哥德巴赫之前一个世纪，这位多才多艺的法国人便发现了这一数字规律，即每个大于或等于六的偶数均可表示成为两个奇素数之和。当然，由于笛卡尔早已经鼎鼎大名了，连法国人也没有要求把这个猜想的名字更改。如果说工业革命的需要促使牛顿在英国发明了微积分，那么流血的法国大革命尤其是拿破仑的好战也使得法国成就了一批精通理论和应用的数学家。如上所述，那个时代的法国数学家几乎都与拿破仑交上了朋友，他们中的许多位曾在军事学院和准军事学院就读或任教。即便1789年出生的柯西，也在离拿破仑滑铁卢之战尚有五年时，到英吉利海峡的港口瑟堡担任一名军事工程师，当时他身上只带着四本书，拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《解析函数论》，一本天主教的教义和一册维吉尔的诗集。从笛卡尔、帕斯卡尔、柯西等人的成才例子和伽罗瓦的早夭也可以看出，身体和智力上的平衡、科学与人文素养的兼备是何等重要。或许是法兰西的面积狭小，数学家们抬头不见低头见，加上邻国之间的相互竞争，使得多数对数学感兴趣的人有着高起点，他们相互影响和勉励，形成了合理的良性循环。不仅如此，法国人研究数学的形式也别出心裁，例如著名的布尔巴基学派。1930年代，几位在大学教授微积分学的青年人觉得现行使用的教材已经过时, 尤其是对多重积分等的处理不尽人意。几番探讨之后, 他们决计要写一本尽可能现代的分析教程，结果有了一整套《数学原理》。这帮年轻人不计较个人名利，在相当长的时间里，只用布尔巴基这个笔名发表数学论文，其中的多位成员如韦伊、嘉当等后来成为大师级人物。他们引进了数学结构的概念，主要考虑一些对象的集合，而非具体的形、数、函数或运算，这一思想构成了现代数学的核心，但当被应用到中学教材改革时并不成功。需要指出的是，本文提到的半数法国数学家与巴黎综合工科学校（1794）结缘，而另一座同样诞生于法国大革命期间、校名也同样谦逊的巴黎高等师范学校（1808）则在上个世纪培养了八位菲尔兹奖得主。可以说，正是笛卡尔以降法国数学家拥有的人文素养，使得数学在法国长盛不衰。值得一提的是，这一良好的氛围也熏陶了滞留巴黎的德国人莱布尼茨，他从一个肩负外交使命的秘密使臣一跃成为大数学家和大哲学家，他那轰动一时的微积分学便是在巴黎期间发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同时也使得法国数学又多了一个强有力的竞争者。而布尔巴基学派的诞生，便是迫于德国数学后来居上的压力和形势之下。反观中国，虽说西汉时就有了《周髀算经》和《九章算术》，南朝时祖冲之对圆周率的估算领先世界一千多年，却限于实用性的计算而忽视公理化建设和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开，终于意识到自己的落后，摆在我们面前的困难重重。这里面当然有机制和学风的因素，不过我相信，如果我们的数学工作者年轻时多一些人文修养，盛年之后能把一部分精力转向哲学思考或研究，及时探讨数学的未来和外延。如同本文引言所说的，把数学看成是传统文化的一部分，而不是做为敲门砖或谋取名利的手段，我们的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度，中国也有望成为真正的数学大国。
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