DeepMind Nature发文:AI首次实现数学领域的重大进展
数据派THU
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2021-12-27 18:42
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希望这项工作可以作为深化数学和AI领域之间合作的一个模型。
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作为一门古老的学科,数学的内容包括发现某种模式,并使用这些模式来表述和证明猜想,从而产生定理。
自20世纪60年代以来,数学家们一直使用计算机来帮助发现猜想的模式和公式,最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture(贝赫和斯维讷通-戴尔猜想),这个猜想是千禧年数学大奖的七个问题之一,是数论领域的著名问题。
但是,时至今日,计算机证明基础数学重要定理的例子也并不多见。
现在,DeepMind的一项成果展示了更多的可能性:计算机科学家和数学家们首次使用AI来帮助证明或提出新的数学定理,包括复杂理论中的纽结理论(knot theory)和表象理论(representation theory)。
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在该论文中,作者团队提出采用一种机器学习模型,来发现数学对象之间的潜在模式和关联,用归因技术加以辅助理解,并利用这些观察进一步指导直觉思维和提出猜想的过程。
乔迪·威廉姆森教授(Geordie Williamson)是悉尼大学数学研究所所长,也是世界上最重要的数学家之一,他在纯数学领域有着非凡的成绩。作为该论文的合著者,他成功发挥Deep Mind的AI力量,在其专业领域——表象理论中展开了大胆的探索猜想。
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基础数学无疑属于重大科学问题的范畴(甚至可以说是地基)。正如Geordie Williamson教授所说:“数学问题一度被认为是最具智力挑战性的问题……虽然数学家们已经使用ML来帮助分析复杂的数据集,但这是我们第一次使用计算机来辅助形成猜想,或为数学中未经证实的想法提出可能的突破路线。”
众所周知,数学家的直觉在数学发现中起着极其重要的作用——“只有结合严格的形式主义和良好的直觉思维,才能解决复杂的数学问题”。
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如上图所示,论文中描述了一种通用的框架方法,在这个框架方法之下,数学家可以使用ML工具来指导他们对复杂数学对象的直觉,验证关系存在的假设,并理解这些关系。
Williamson教授就利用DeepMind的AI,在证明关于Kazhdan-Lusztig多项式的古老猜想的道路上离目标越来越近,当然,这些猜想涉及高维代数中的深度对称性。可以说,Kazhdan-Lusztig(KL)是代数群表示论近40年来最重要的发展之一。
而来自牛津大学(University of Oxford)的Marc Lackeby教授和András Juhász教授,则进一步研究了这一过程。
他们发现了纽结的代数和几何不变量之间惊人的关联,建立了数学中一个全新的定理。这些不变量有许多不同的推导方式,研究团队将目标主要聚焦在两大类:双曲不变量和代数不变量。两者来自完全不同的学科,增加了研究的挑战性和趣味性。图2给出了不变量的一些示例。
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纽结理论本身就散发着无穷的魅力,毫无疑问,物理科学领域也深深地被其吸引着,纽结理论得到了广泛的应用,从理解DNA链、流体动力学,一直到太阳日冕(the Sun’s corona)中的力的相互作用等。
Juhász教授说:“纯数学家的工作方式是制定猜想并证明这些猜想,从而得出定理。但是,这些猜想从何而来呢?”
文章已经证明,在数学直觉思维的指导下,ML提供了一个强大的框架,可以在有大量数据可用的领域,或者对象太大而无法应用经典方法研究的领域,发现有趣且可证明的猜想。
Lackeby教授也表示:“使用ML来发现数学不同领域之间新颖和意想不到的联系,一直是一件很有趣的事情。我相信,我们在牛津大学和悉尼大学与DeepMind联合完成的工作中足以证明,ML可以成为数学研究中真正有用的工具。”
Williamson教授说:“AI堪称为一款非凡的工具。这项工作第一次证明了,它对像我这样的纯数学家的有用性。经验直觉可以带我们走很长一段路,但AI可以帮助我们找到人类思维可能并不总是容易发现的关联。”
如其所言,直觉在许多人类追求的超常表现中扮演着重要的角色。
例如,它对顶级围棋选手至关重要,AlphaGo之所以成功,部分源自于它能够使用ML来学习人类直观表现的游戏元素。同样地,它也被认为是顶尖数学家的关键——拉马努扬被誉为“直觉王子”,激发了著名数学家思考直觉在其研究领域地位的好奇心。
但与围棋相比,数学又是一种与众不同的、更具合作性的工作,因此AI在协助数学家完成相关方面的工作,的确具备卓有成效的空间和潜力。
对于AI和数学之间的关系能否融通共进的讨论,在CCAI2019学术会议上,徐宗本院士也曾慷慨激昂地带来主题为《AI与数学:融通共进》的报告,他提出,AI与数学在方法论上具有惊人的一致性。AI的基础是数学,要想行稳致远,首要考虑的是解决好数学问题;而AI的发展必然也会助力数学领域的研究。
论文中团队也有着类似的希冀,他们表示,希望这项工作可以作为深化数学和AI领域之间合作的一个模型,充分发挥数学和ML各自的优势,以达到让人惊叹的效果。
Williamson教授说,“对我来说,这些发现给出了足够的提醒,智力并非是单一的变量,就像一个智商数字。显然,智力的最佳定义,应该是将其视为一种多轴的多维空间:学术智力(academic intelligence)、情感智力(emotional intelligence)、社会智力(social intelligence)。
我希望AI能为我们提供另一个可以合作的智能轴,这个新的轴将有力地加深我们对数学世界的理解。”
编辑:黄继彦
校对:龚力
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