本篇主要聊一下对偶空间里的对偶向量到底是神马东西，以及引入它的大致缘由。1

上篇回顾

我们回顾一下上次的例子，即一个躺平向量对应的线性函数，

其中上进向量 任意，它在自然基底 下的坐标为 。假设基变换矩阵为  ，则新坐标为

而躺平向量的坐标是下面这样变换的，

或者你一定要让它站起来也行，那就两边转置一下，

总之，一逆一协（顺），活儿不变。

上进向量的坐标变化我们已经在上篇中解释过了，是逆变。但是躺平向量的坐标为什么要这么变换呢？这是巧合还是额外要求什么的呢？

这里的躺平向量跟上进向量不是同处一个空间的，它属于另一个空间，即上进向量所在的向量空间 （这个例子里是 ）的对偶空间 。

那么问题来了，这个对偶空间 到底什么来头，跟空间 有什么具体关系呢？

+小明举手了

问道：老师，基变了，但是我不管它可不可以？我堂堂男儿说躺平那是真躺平，我的坐标 就是保持不变，你能把我怎么样呢？

如果是这样子，也是可以啊，只是呢你跟人家一起干的活儿也就变了。反映在上面例子里就是不保证出来还是原来的数。那貌似也没什么大不了，只是你和上进向量搞的这个事情就不能叫张量了。

比如说，

这里给定一个上进向量，它的坐标 是逆变的，如果吃进的 也是同类，即两个都是逆变的，那么两个变换矩阵相乘变不了单位矩阵啊，所以两个向量搞出来的值在不同基下是不同了，因此就不是一个张量了。而如果吃进的是躺平向量，一逆一协刚好抵消，完美。

+敲黑板

• 将张量定义成只吃上进向量也是可以的，只是这样的话应用将会受限，因此有必要扩展到允许把对偶向量也吃进来，这样的话，上进向量也能成为张量了。

• 我们通常讲的向量（vector）是指这里的上进向量，而这里的躺平向量对应的英文是（covector，或者 dual vector），叫它余向量或对偶向量什么的并不重要，知道它在哪个空间里，干什么的才是重点。2

对偶向量

上一篇中，我们将对偶空间称为对象空间，那这一篇我们就来看看为什么这么叫。

上篇里假设你是躺平青年（向量），但这篇里我们反转过来，你变成了一枚上进青年（向量）。

上进向量所在的空间就是一个向量空间（也叫线性空间），线性代数大家多少还记得吧。

注意，我们仅考虑有限维的情况，这足以应对一般的应用问题了。

+（上进向量）空间

你一个上进青年，怎么是一个向量呢？因为人生在世，身不由己。都是活在社会里的，免不了社会给你定位。

我们简化一下，假设对每个上进青年从三个方面来定位，比如智商、长相和活儿。长相包括了脸、身材和器物等，但这里简化假设只看脸。活儿不是专门指某个活，表示办事能力，包括了体能、性格、情商、逆商、自学能力、自律、996 容忍度等综合能力，比如是学生对应成绩。

写成向量的形式：

活儿浓缩为一个数，即这里 KPI 就一个数字。注意，这里的值是上下不封顶底的，而且可以取负值。

这样的话，每个青年看成一个向量，有了他自己在一个三维空间 中的坐标。

比如小明同学，爱问问题，爱思考，所以成绩还算不错，他的坐标为 。

既然有坐标，那背后必然有一组基。在这个例子中，可以用标准基（自然基），即

表示每个属性的基本单位都是 1 分，而且任何一个都不能用其他两个线性表示。

基于这组基，我们每个上进青年都有了自己的坐标。而且在线性空间中，两个向量加起来，就是将每个分量直接加起来，得到另一个向量。

这在一定意义上诠释了三个臭皮匠顶个诸葛亮，指的是三个副将的分值能顶一个诸葛亮。

+小明找对象

从向量空间里拉出一个点，对应一个上进青年，比如上面的小明 。那么假设小明长大了，想要找对象了，但是他的对象是谁呢？在哪里呢？

这里，大家不妨对照一下《非诚勿扰》节目，小明是男嘉宾，想找对象。那么女嘉宾会不会当他对象呢？这就要看每个女嘉宾如何看小明了。

同样我们简化一下问题，假设每个女嘉宾对小明的评估就是一个实数，可以理解成打分。因此，这个潜在的对象其实是一个函数，

而且还是一个头脑简单的线性函数。

我们把小明这个上进向量写成坐标 和基向量的线性组合形式，就是 。把它代入上面那个对象，就是函数 ，得

这怎么计算呢？上面说了，它是一个线性函数，所以可以写为，

转化成三个函数值的加权和了。

也就是说，潜在对象 看待三个基底（）的分数 和小明本身的坐标值决定了小明的分数。表面上是根据小明整个人打分，其实相当于将他肢解了，按成分打分乘以比例再相加得出分数。

这时候如果将上进青年换成大明，那对象 也是同样操作。也就是说，给定任何上进向量的坐标（品质），我们只要知道下面这三个函数值就能得到上进向量的分数了，

因此这个对象如何评估每一个上进向量取决于她如何评估三个基底，我们把它也打包成一维数组的形式，

这样貌似也是可以看成某个向量的坐标了，可问题是它的基底是什么呢？

如果某个对象比较看重智商，那第一个函数值就会比较高；如果是花痴，那就更看重颜值，第二项最高；或者最看重活儿，那第三项最高。

有一个句话叫 三观跟着五官跑，就有点这个意思吧。

比如上面这个对象的三项是 ，换一个对象，它的三项可能是 ，不同对象心中的尺子可能差别很大，同样也是可以取负值并且不封顶的。

我们可以把这三项看成某个对象的价值观，这里刚好三项，正好简称为三观。

+敲黑板

对象空间中的每个对象的坐标意义不像上进向量那样是智商颜值之类的属性了，而是上进向量的基底（属性）在它们眼中的价值，比如单位智商打几分、单位颜值打几分之类的等等。

向量空间 的对偶空间 就是定义在 上的线性函数构成的向量空间。

我们理一理：

• 每个元素是一个线性函数 ，反映了这个元素怎么看整个 。

• 由于是线性函数，因此只要知道它怎么看 的基底就知道它怎么看整个 。

• 重要的是，由于是线性函数，可以证明这些元素同样也构成了另一个向量（线性）空间，记为 。

+对偶空间里的点如何表示

上面我们已经将每个点看成向量坐标了，这里我们改成 

凡是向量，自然背靠一组基底。那么这里背后的那组基是什么呢？每个对象都有自己的三观，那么三观有没有一个社会基准呢？可以有，不就是看待三个属性的线性函数嘛。我们可以构造如下的函数，

假设 的一组基为 , 那么 的对偶基就是 中的元素 , 它们都是线性函数，其中 如下定义:

这就是对偶空间 的基，也称为 刚才那组基 的对偶基。

同时，这也可以算是三观的社会基准，每个基函数只看重其中一个属性，忽略其他属性（取 0 值）。比如只看重智商的那个基函数在看智商时 ，意思就是 1 个智商单位我打 1 分，而其他属性不管多少都是打 0 分。

好了，它们要能成为基，除了线性无关外，还得有个条件，就是 中的任意一个元素 都可以用 的线性组合来表示。

我们回到上面三维的例子，假设元素 可以用上面三个函数的线性组合表示，权值分别是 ，即

那么 分别是多少呢？

我们只要把基 分别代入上面函数，得

因此可得元素 的坐标为，

也就是说，元素 的坐标（三观）就确定了它在对偶空间中的位子。

你，上进青年，所在的向量空间的对偶空间就是你所有相亲对象的三观构成的观念空间。这个空间里随便拿出一个元素，它表示的是那个潜在对象的三观，而不是对象本身。

所谓三观，并不是看你一个人，而是看整个空间，就是对 的基 的打分。然后，把你放到它面前，由于它是函数，你作为输入，这个事情自然就是它给你打分啦。请看下式，

那么问题来了，这里每个 分别是多少呢？我们把 代入，得

这么说 取的就是 的第 个分量 。

我们把某个 代入 ，得到

这不就是上一篇里的那个躺平向量和上进向量一起搞的事情嘛。没错，就是它。由此拉开了躺平向量和上进向量之间错综复杂的千年情缘、万世纠缠。

现在我们知道了所谓对偶向量（躺平向量）的坐标是怎么样的了，并且也知道背后的基底了。

小明没找到对象，心思又回到了学习，问为什么叫对偶？不是对象吗？这个问题咱们先放一放。另外，躺平向量的坐标为什么作协变也是由它的身份所决定的，具体细节在下一篇里展开。

本篇完