假设，我们有一个任务：给定一些患者的样本，构建一个模型来预测肿瘤是不是恶性的。在这里，肿瘤要么良性，要么恶性，所以这是一个典型的二分类问题。

假设我们用y=1表示肿瘤是良性，y=0表示肿瘤是恶性。则我们可以制作如下图的表格：

如上图，TP表示预测为良性，而实际也是良性的样例数；

FN表示预测为恶性，而实际是良性的样例数；

FP表示预测为良性，而实际是恶性的样例数；

TN表示预测为恶性，而实际也是恶性的样例数；

所以，上面这四个数就形成了一个矩阵，称为混淆矩阵。

那么接下来，我们如何利用混淆矩阵来计算ROC呢？

首先我们需要定义下面两个变量：

TPR表示，在所有良性肿瘤中，被预测为良性的比例。称为真阳性率。真阳性率告诉我们，随机拿一个良性的肿瘤样本时，有多大的概率会将其预测为良性肿瘤。显然我们会希望TPR越大越好。

如果以FPR为横坐标，TPR为纵坐标，就可以得到下面的坐标系：

可能看到这里，你会觉得有点奇怪，用FPR和TPR分别作横纵坐标有什么用呢？我们先来考察几个特殊的点。

点(0,1)，即FPR=0，TPR=1。FPR=0说明FP=0，也就是说，没有假正例。TPR=1说明，FN=0，也就是说没有假反例。这不就是最完美的情况吗？所有的预测都正确了。良性的肿瘤都预测为良性，恶性肿瘤都预测为恶性，分类百分之百正确。这也体现了FPR 与TPR的意义。就像前面说的我们本来就希望FPR越小越好，TPR越大越好。

点(1,0)，即FPR=1，TPR=0。这个点与上面那个点形成对比，刚好相反。所以这是最糟糕的情况。所有的预测都预测错了。

点(0,0)，即FPR=0，TPR=0。也就是FP=0，TP=0。所以这个点的意义是所有的样本都预测为恶性肿瘤。也就是说，无论给什么样本给我，我都无脑预测成恶性肿瘤就是了。

点(1,1)，即FPR=1，TPR=1。显然，这个点跟点(0,0)是相反的，这个点的意义是将所有的样本都预测为良性肿瘤。

考察完这四个点，我们可以知道，如果一个点越接近左上角，那么说明模型的预测效果越好。如果能达到左上角(点(0,1))，那就是最完美的结果了。

介绍了混淆矩阵之后，我们就可以了解一下ROC（receiver operating characteristic curve）曲线是怎么定义的。

我们知道，在二分类（0，1）的模型中，一般我们最后的输出是一个概率值，表示结果是1的概率。那么我们最后怎么决定输入的x是属于0或1呢？我们需要一个阈值，超过这个阈值则归类为1，低于这个阈值就归类为0。所以，不同的阈值会导致分类的结果不同，也就是混淆矩阵不一样了，FPR和TPR也就不一样了。所以当阈值从0开始慢慢移动到1的过程，就会形成很多对(FPR, TPR)的值，将它们画在坐标系上，就是所谓的ROC曲线了。

我们来举一个例子。比如我们有5个样本：

真实的类别(label)为y = c(1,1,0,0,1).

一个分类器预测样本为1的概率为p=c(0.5, 0.6, 0.55, 0.4, 0.7).

正如上面说的，我们需要有阈值，才能将概率转换为类别，才能得到FPR和TPR。而选定不同的阈值会得到不同的FPR和TPR。假设我们现在选定的阈值为0.1,那么5个样本都被归类为1。如果选定0.3，结果仍然一样。如果选了0.45作为阈值，那么只有样本4被分进0，其余都进入1类。当我们不断改变阈值，就会得到不同的FPR和TPR。然后我们将得到的(FPR , TPR)连接起来，就得到了ROC曲线了。

看到这里，也许我们还有一点难理解。这里要注意:

1 阈值的范围是[0,1]，当阈值从1到0慢慢移动时，FPR会越来越大。因为FP(假正例)会越来越多。

2 如果在给定的样本中，我都随机预测，也就是0.5概率预测为良性肿瘤，0.5概率预测为恶性肿瘤。那么这条曲线会是怎样的呢？可以想象，如果数据是均匀，那么这条曲线就是y=x。

3 注意曲线一定是从(0,0)开始最终到达(1,1)的。理解了上面四个点的意义就知道了。

4 事实上，ROC曲线不是光滑的，而是阶梯型的。为什么呢？因为样本的数量是有限的，而FPR和TPR的变化需要至少有一个样本变化了，在没有变化的间隙里，就不会有变化。也就是说，步进是1/样本数。

得到了ROC曲线，我们就可以计算曲线下方的面积了。计算出来的面积就是AUC值了。 

知道了如何计算AUC值，我们当然是要来问一下AUC值的意义了。为什么我们要这么大费周章地搞出这个AUC值？

假设我们有一个分类器，输出是样本输入正例的概率，所有的样本都会有一个相应的概率，这样我们可以得到下面这个图：

其中，横轴表示预测为正例的概率，纵轴表示样本数。

所以，蓝色区域表示所有负例样本的概率分布，红色样本表示所有正例样本的概率分布。显然，如果我们希望分类效果最好的话，那么红色区域越接近1越好，蓝色区域越接近0越好。

为了验证你的分类器的效果。你需要选择一个阈值，比这个阈值大的预测为正例，比这个阈值小的预测为负例。如下图：

在这个图中，阈值选择了0.5于是左边的样本都被认为是负例，右边的样本都被认为是正例。可以看到，红色区域与蓝色区域是有重叠的，所以当阈值为0.5的时候，我们可以计算出准确率为90%.

好，现在我们来引入ROC曲线。

图中左上角就是ROC曲线，其中横轴就是前面说的FPR(False Positive Rate)，纵轴就是TPR(True Positive Rate)。

然后我们选择不同的阈值时，就可以对应坐标系中一个点。

当阈值为0.8时，对应上图箭头所指的点。

当阈值为0.5时，对应上图箭头所指的点。

这样，不同的阈值对应不同的点。最后所有的点就可以连在一起形成一条曲线，就是ROC曲线。

现在我们来看看，如果蓝色区域与红色的区域发生变化，那么ROC曲线会怎么变呢？

上图中，蓝色区域与红色区域的重叠部分不多，所以可以看到ROC曲线距离左上角很近。

但是，当蓝色区域与红色区域基本重叠时，ROC曲线就和接近y=x这条线了。

综上两个图，如果我们想要用ROC来评估分类器的分类质量，我们就可以通过计算AUC（ROC曲线下的面积）来评估了，这就是AUC的目的。

其实，AUC表示的是正例排在负例前面的概率。

比如上图，第一个坐标系的AUC值表示，所有的正例都排在负例的前面。第二个AUC值，表示有百分之八十的正例排在负例的前面。

我们知道阈值可以取不同，也就是说，分类的结果会受到阈值的影响。如果使用AUC的话，因为阈值变动考虑到了，所以评估的效果更好。

另一个好处是，ROC曲线有一个很好的特性：当测试集中的正负样本分布发生变化了，ROC曲线可以保持不变。在实际的数据集中经常会出现类不平衡（class imbalance）现象，即负样本比正样本多很多（或者相反），而且测试数据中的正负样本的分布也可能随着时间变化。

在上图中，(a)和(c)为ROC曲线，(b)和(d)为Precision-Recall曲线。(a)和(b)展示的是分类其在原始测试集（正负样本分布平衡）的结果，(c)和(d)是将测试集中负样本的数量增加到原来的10倍后，分类器的结果。可以明显的看出，ROC曲线基本保持原貌，而Precision-Recall曲线则变化较大。

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