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题目描述：

给定一个二维矩阵，

计算其子矩形范围内元素的总和，

该子矩阵的

左上角为(row1,col1)，右下角为(row2,col2)

如下矩阵所示：

下图中间的子矩阵

左上角(row1,col1)=(1,1)，

右下角(row2,col2)=(3,3)，

该子矩形区域内元素的总和为10。

这道题是一维前缀和的升级，可以称为二维前缀和。

之前的一维前缀和分析可以查看这篇文章

【一天一道Leetcode】数组不可变

我们先来分析一下这道题

假设m和n分别是矩阵matrix的行数和列数。

当0≤i<m且0≤j<n时，

f(i,j)为矩阵matrix

以(i,j)为右下角标的子矩阵的元素之和。

当i=0或j=0时，

计算f(i,j)只需要对矩阵matrix的最上边的行或最左边的列分别计算前缀和即可。

即如下图所示，

f(i,j)为第一行或第一列的元素区域累加数值。

当i和j都大于0时，我们要计算f(i,j)

如下图所示，计算矩阵matrix的前缀和f(2,2)

f(2,2)=紫色区域+橙色区域-绿色区域+matrix[2,2]

f(2,2)=f(1,2)+f(2,1)-f(1,1)+matrix[2,2]

即：

f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)-f(i-1,j-1)+matrix[i,j]

根据题意

当row1=0且col1=0时，

sumRange(row1, col1, row2, col2)=f(row2, col2)

当row1≠0，col1≠0，row1<=row2，col1<=col2时

由一维前缀和的公式可知

数组（i,j）范围内的元素和为

sumRange(i,j)= presums[j+1]-presums[i]

二维矩阵的（row1, col1, row2, col2）区域元素和为

sumRange(row1, col1, row2, col2)=
f(row2, col2)-f(row1-1,col2)-f(row2,col1-1)+f(row1-1,col1-1)

用图像来直观说明，如下图矩阵：

我们需要求蓝色方框块的元素和

也即是矩阵中(1,1)到(2,2)区域的元素和

f(1,1,2,2)=f(2,2)-f(0,2)-f(2,0)+f(0,0)

f(2,2)代表绿色方框内的元素和

f(0,2)代表紫色方框内的元素和

f(2,0)代表橙色方框内的元素和

由于f(2,2)-f(0,2)-f(2,0)多减掉了一个f(0,0)

最后需要加上f(0,0)

则最后公式为

f(1,1,2,2)=f(2,2)-f(0,2)-f(2,0)+f(0,0)

我们的代码表示为：

class NumMatrix:
    def __init__(self, matrix: List[List[int]]):
        if not matrix or not matrix[0]:
            pass
        else:
            m, n = len(matrix), len(matrix[0]) 
            self.sums = [[0] * (n + 1) for i in range(m + 1)]
            _sums = self.sums

            for i in range(m):
                for j in range(n):
                    _sums[i+1][j+1] = _sums[i][j+1]+_sums[i+1][j]-_sums[i][j]+matrix[i][j]

    def sumRegion(self, row1: int, col1: int, row2: int, col2: int) -> int:
        _sums = self.sums
        return _sums[row2+1][col2+1]-_sums[row1][col2+1]-_sums[row2+1][col1]+_sums[row1][col1]