小波变换通俗解释
人工智能与算法学习
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· 2021-09-30
一、傅里叶变换
做完FFT(快速傅里叶变换)后,可以在频谱上看到清晰的四条线,信号包含四个频率成分。
如上图,最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号,它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。做FFT后,我们发现这三个时域上有巨大差异的信号,频谱(幅值谱)却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号,我们从频谱上无法区分它们,因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的,只是出现的先后顺序不同。
看图:
时域上分成一段一段做FFT,不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗!
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
窗太窄,窗内的信号太短,会导致频率分析不够精准,频率分辨率差。窗太宽,时域上又不够精细,时间分辨率低。
看看实例效果吧:
三、小波变换
【解释】
这个基函数会伸缩、会平移(其实是两个正交基的分解)。缩得窄,对应高频;伸得宽,对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。某一个尺度(宽窄)下乘出来的结果,就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是,基函数会在某些尺度下,与信号相乘得到一个很大的值,因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。
看,这两种尺度能乘出一个大的值(相关度高),所以信号包含较多的这两个频率成分,在频谱上这两个频率会出现两个峰。
这就是为什么它叫“小波”,因为是很小的一个波嘛~
从公式可以看出,不同于傅里叶变换,变量只有频率ω,小波变换有两个变量:尺度a(scale)和平移量 τ(translation)。尺度a控制小波函数的伸缩,平移量 τ控制小波函数的平移。尺度就对应于频率(反比),平移量 τ就对应于时间。
当伸缩、平移到这么一种重合情况时,也会相乘得到一个大的值。这时候和傅里叶变换不同的是,这不仅可以知道信号有这样频率的成分,而且知道它在时域上存在的具体位置。
看到了吗?有了小波,我们从此再也不害怕非稳定信号啦!从此可以做时频分析啦!
做傅里叶变换只能得到一个频谱,做小波变换却可以得到一个时频谱!
↑:时域信号
↑:傅里叶变换结果
——此图像来源于“THE WAVELET TUTORIAL”
小波还有一些好处:
然而衰减的小波就不一样了:
以上,就是小波的意义。
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3. A Really Friendly Guide to Wavelets
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但是真正理解透小波变换,这些还差得很远。比如你至少还要知道有一个“尺度函数”的存在,它是构造“小波函数”的关键,并且是它和小波函数一起才构成了小波多分辨率分析,理解了它才有可能利用小波做一些数字信号处理;你还要理解离散小波变换、正交小波变换、二维小波变换、小波包……这些内容国内教材上讲得也很糟糕,大家就一点一点啃吧~
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