从最优化的角度看待Softmax损失函数
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作者按：最近博士毕业论文写完了，这段时间比较闲，准备把我博士毕业论文里比较有意思的一些章节拿出来写成博客，有空就写点，不定期更新。
Softmax交叉熵损失函数应该是目前最常用的分类损失函数了，在大部分文章中，Softmax交叉熵损失函数都是从概率角度来解释的（请读者自行搜索），本文将尝试从最优化的角度来推导出Softmax交叉熵损失函数，希望能够启发出更多的研究思路。
一般而言，最优化的问题通常需要构造一个目标函数，然后寻找能够使目标函数取得最大/最小值的方法。目标函数往往难以优化，所以有了各种relax、smooth的方法，例如使用L1范数取代L0范数、使用sigmoid取代阶跃函数等等。
那么我们就要思考一个问题：使用神经网络进行多分类（假设为 
类）时的目标函数是什么？神经网络的作用是学习一个非线性函数 
，将输入转换成我们希望的输出。这里我们不考虑网络结构，只考虑分类器（也就是损失函数）的话，最简单的方法莫过于直接输出一维的类别序号 
。而这个方法的缺点显而易见：我们事先并不知道这些类别之间的关系，而这样做默认了相近的整数的类是相似的，为什么第2类的左右分别是第1类和第3类，也许第2类跟第5类更为接近呢？
为了解决这个问题，可以将各个类别的输出独立开来，不再只输出1个数而是输出 个分数（某些文章中叫作logit[1]，但我感觉这个词用得没什么道理，参见评论），每个类别占据一个维度，这样就没有谁与谁更近的问题了。那么如果让一个样本的真值标签（ground-truth label）所对应的分数比其他分数更大，就可以通过比较 个分数的大小来判断样本的类别了。这里沿用我的论文[2]使用的名词，称真值标签对应的类别分数为目标分数(target score)，其他的叫非目标分数(non-target score)。
这样我们就得到了一个优化目标：
输出C个分数，使目标分数比非目标分数更大。
换成数学描述，设 
、
为真值标签的序号，那优化目标即为：
。
得到了目标函数之后，就要考虑优化问题了。我们可以给 
一个负的梯度，给其他所有
一个正的梯度，经过梯度下降法，即可使 升高而 下降。为了控制整个神经网络的幅度，不可以让 
无限地上升或下降，所以我们利用max函数，让在 刚刚超过 时就停止上升：
。
然而这样做往往会使模型的泛化性能比较差，我们在训练集上才刚刚让 超过 ，那测试集很可能就不会超过。借鉴svm里间隔的概念，我们添加一个参数，让 比 大过一定的数值才停止：
。
这样我们就推导出了hinge loss...唔，好像跑题了，我们本来不是要说Softmax的么...不过既然跑题了就多说点，为什么hinge loss在SVM时代大放异彩，但在神经网络时代就不好用了呢？主要就是因为svm时代我们用的是二分类，通过使用一些小技巧比如1 vs 1、1 vs n等方式来做多分类问题。而如论文[3]这样直接把hinge loss应用在多分类上的话，当类别数 特别大时，会有大量的非目标分数得到优化，这样每次优化时的梯度幅度不等且非常巨大，极易梯度爆炸。
其实要解决这个梯度爆炸的问题也不难，我们把优化目标换一种说法：
输出C个分数，使目标分数比最大的非目标分数更大。
跟之前相比，多了一个限制词“最大的”，但其实我们的目标并没有改变，“目标分数比最大的非目标分数更大”实际上等价于“目标分数比所有非目标分数更大”。这样我们的损失函数就变成了：
。
在优化这个损失函数时，每次最多只会有一个+1的梯度和一个-1的梯度进入网络，梯度幅度得到了限制。但这样修改每次优化的分数过少，会使得网络收敛极其缓慢，这时就又要祭出smooth大法了。那么max函数的smooth版是什么？有同学会脱口而出：softmax！恭喜你答错了...
这里出现了一个经典的歧义，softmax实际上并不是max函数的smooth版，而是one-hot向量（最大值为1，其他为0）的smooth版。其实从输出上来看也很明显，softmax的输出是个向量，而max函数的输出是一个数值，不可能直接用softmax来取代max。max函数真正的smooth版本是LogSumExp函数。
使用LogSumExp函数取代max函数：
，
LogSumExp函数的导数恰好为softmax函数：
。
经过这一变换，给予非目标分数的1的梯度将会通过LogSumExp函数传播给所有的非目标分数，各个非目标分数得到的梯度是通过softmax函数进行分配的，较大的非目标分数会得到更大的梯度使其更快地下降。这些非目标分数的梯度总和为1，目标分数得到的梯度为-1，总和为0，绝对值和为2，这样我们就有效地限制住了梯度的总幅度。
LogSumExp函数值是大于等于max函数值的，而且等于取到的条件也是非常苛刻的（具体情况还是得看我的博士论文，这里公式已经很多了，再写就没法看了），所以使用LogSumExp函数相当于变相地加了一定的 
。但这往往还是不够的，我们可以选择跟hinge loss一样添加一个 ，那样效果应该也会不错，不过softmax交叉熵损失走的是另一条路：继续smooth。
注意到ReLU函数 
也有一个smooth版，即softplus函数 
。使用softplus函数之后，即使 超过了LogSumExp函数，仍会得到一点点梯度让 继续上升，这样其实也是变相地又增加了一点 ，使得泛化性能有了一定的保障。替换之后就可以得到：
这个就是大家所熟知的softmax交叉熵损失函数了。在经过两步smooth化之后，我们将一个难以收敛的函数逐步改造成了softmax交叉熵损失函数，解决了原始的目标函数难以优化的问题。从这个推导过程中我们可以看出smooth化不仅可以让优化更畅通，而且还变相地在类间引入了一定的间隔，从而提升了泛化性能。
至于如何利用这个推导来对损失函数进行修改和一些进一步的分析，未完待续...
好消息！
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