15分钟入门蒙特卡洛 Monte Carlo

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20世纪40年代，蒙特卡洛（Monte Carlo, 位于摩纳哥的赌城，如上图）方法由John von Neumann，Stanislaw Ulam和 Nicholas Metropolis 在 Los Alamos National Lab (LANL) 曼哈顿计划中，为模拟中子扩散发展出的一种统计方法。正如名字反映出的，蒙特卡洛方法本质上是跟赌博一样具有随机特性。

   一、估计圆周率  的值

如果(x,y)是独立地从0到1之间均匀分布抽样出的一系列的数对number pair, 那么这些随机的位置坐标(x,y)落在1为半径圆弧内的概率应该是：四分之一圆的面积➗整个正方形的面积：

而因为(x,y) 是0到1的均匀分布，所以这个概率当抽样足够多的时候就等于红色的点数除以总共点数：

这样一来，只要采样足够多，就可以得到无限趋近于的值。这个例子很好的体现了Monte Carlo（MC)方法的精神：利用随机分布的特性，大数次抽样得到准确的估计。换句话说，就是我猜，我猜地又多又均匀就基本上成功了！

   二、估计定积分的值

微积分里我们学到，定积分（也就是曲线下的面积）可以想象成很多等宽小矩形加起来的面积之和，如下图所示，

如果用蒙特卡洛的思维来做的话，可以从a到b的均匀分布产生一些列的x值： ，只要抽样足够多，就可以估计出在这个区间内  的平均值，记做  这样一来，曲线下面积就等效成一个以这个平均值为高的矩形面积：

   三、重要性抽样（Importance sampling）

其实，很多积分中  还是有一些重要的区域的，为了使采样更有效率，一般我们可以采用重要性抽样来计算积分：

这里，  是任意满足正定  且归一化  条件的概率分布，且  是从这个分布采样的随机数。重要性抽样其实仅仅就是做了个恒等变形，把原来要均匀采样的概率分布（其实就是  ）替换成任意概率分布，并把要平均的函数除以这个分布。重要性抽样是统计和物理中常见的方法，可以很好的对重点区域采样而快速估计积分。

另一方面，重要性抽样有着很简单直接的并行化方案：对于多维定积分，  从分布  中采样的话，（这里为了符号简便，现在暂时将第  次采样记做带括号的上标  ）

其实，统计力学里常见的积分就是物理量  的系综平均

这里 是正则系综分布函数，  是正则配分函数。

   四、Metropolis Monte Carlo算法 (Markov Chain Monte Carlo, MCMC)

那么，问题来了，怎么对任意分布  采样？这里介绍Metropolis MC算法，也叫Metropolis-Hastings算法，它类似于随机瞎走（Random walk）的方式产生一列数，这些数的总体分布服从  。这里，我们以平衡态统计力学中的最常见的Boltzmann分布为例说明。

玻尔兹曼分布说对于构型  ,它的概率应该是  ,这里  是这个构型的能量。我们想要产生服从玻尔兹曼分布的一系列  ,可以设想如果我基于原来的一个构型  怎么产生下一个构型  呢？

当体系达到平衡时，体系在  的概率  不应该随时间改变，于是有

这里  表示基于  随机产生  的转移概率（Transition probability），求和是对于所有可能的其他构型。从上面关系可以得到只要满足下面细致平衡（detailed balance)条件，就可以产生出服从玻尔兹曼分布的序列：

Metropolis选择的是下面方式选择转移概率（尽量最大化接受新构型）：

读者可以将上面两个式子相除，就可以看出在不管新构型的能量是更高还是更低，这个转移概率的比值都服从细致平衡条件，也就是最终产生的分布就会使玻尔兹曼分布了。

Metropolis算法——移动然后选择接受这个移动还是拒绝这个移动

1. 从起始构型  ，计算能量  ；
2. 随机移动一些构型坐标得到一个trial构型  ，并计算该构型的能量  ；
3. 决定是否接受这个移动：
   （1）如果  ,那么100%接受这个移动，正式的下一步构型就是 了；
   （2）如果  ,那么产生一个0到1之间的随机数R, 并跟转移概率  比较，如果  那就接受这个移动  ，否则就拒绝这个移动  ；
4. 回到第二步，直到累积N个构型。

这一列构型  被称为马尔科夫链(Markov Chain)，因为产生的新构型只跟当前构型有关，对前面的构型没有任何的记忆效应，所以这个方法又叫马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）。而且，从任何初始构型出发，最终都会达到平衡而且服从就是玻尔兹曼分布，即通过配比转移概率  达到对某构型的采样概率为 且不随“时间”改变。【注意：MC里序列是没有物理上时间先后关系的，所有说MC“时间序列”都是指随机产生的顺序。】

当然，这个例子只是一个统计力学里的概率分布函数，其实任何形式的分布都可以用MC产生，使得MC方法在统计里应用的不要太多。

谢谢！

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