（附论文）解读：全新的HP-x激活函数

1简介

本文提出了orthogonal-Padé激活函数，它是可以训练的激活函数，在标准深度学习数据集和模型中具有更快的学习能力，同时可以提高模型的准确率。根据实验，在六种orthogonal-Padé激活中找到了2种最佳的候选函数，作者称之为 safe Hermite-Pade(HP)激活函数，即HP-1和HP-2。

与ReLU相比,HP-1和HP-2帮助PreActResNet-34带来不同程度的提升(top-1精度提升分别为5.06%和4.63%),在CIFAR100数据集上MobileNet V2模型提升分别为3.02%和2.75%分别，在CIFAR10数据集上PreActResNet-34的top-1精度分别增加了2.02%和1.78%,LeNet的top-1精度分别提升为2.24%和2.06%,Efficientnet B0的top-1精度分别提升为2.15%和2.03%。

2前人工作简介

深度卷积神经网络由多个隐藏层和神经元构成。然后通过每个神经元的激活函数引入非线性。

ReLU由于其简单性，是深度学习中最受欢迎的激活函数。虽然ReLU有一个缺点叫做 dying ReLU，在这种情况下，多达50%的神经元可能会因为消失梯度问题，即有大量的神经元对网络性能没有影响。为了克服这一问题，后来又提出了Leaky Relu、Parametric Relu、ELU、Softplus，虽然找到最佳的激活函数仍是一个有待研究的问题，但这些方法都提高了网络的性能。最近，研究人员使用了自动搜索技术发现了Swish激活函数。与ReLU相比，Swish的精确度有了一些提高。GELU、Mish、TanhSoft、EIS是目前少数几个可以替代ReLU和Swish的候选激活函数。

近年来，人们对可训练激活函数的研究也越来越感兴趣。可训练激活函数具有可学习的超参数(s)，在训练过程中通过反向传播算法更新。本文提出了Orthogonal-Padé激活函数。Orthogonal-Padé函数可以近似大多数连续函数。

3Padé activation Unit (PAU) and Orthogonal-PAU

考虑实线的一个闭合间隔为[a,b]。设是中次数小于等于的所有多项式的空间。对于一个非负连续函数,在[a, b]上定义Pn(x)上的内积为:

有多项式是正交的，如果：

的一组基是由张成的n个多项式的集合。一组正交基也是一组正交集。

的标准基是。但是标准基与式1中定义的内积并不是正交的。

在许多应用中，使用正交基可以简化表达式并减少计算。多项式空间有几个众所周知的正交基。下表列出了其中一些多项式基。注意，它们有的由递归关系给出，有的由直接表达式给出。

3.1 Padé activation Unit (PAU)

f(x)由有理函数F1(x)的Padé近似定义为：

其中P(x)和Q(x)分别是k次和l次的多项式，它们没有公因式。PAU是式(3)的可学习激活函数，其中多项式系数为可学习参数，在反向传播过程中进行更新。为了将F1(x)的极点从Q(x)的0中移除，有学者提出了safe PAU。safe PAU定义为：

在分母中引入绝对值可以确保分母不会消失。实际上，也可以取和的绝对值来定义：

在许多任务中，F3定义的激活函数比F2定义的safe PAU能够提供更好的结果。

3.2 Orthogonal-Padé activation Unit (OPAU)

g(x)由有理函数G(x)的orthogonal-Padé近似定义为：

其中属于正交多项式集合。与PAU一样，可学习激活函数OPAU由(6)定义，其中为可学习参数。参数的初始化是通过近似的形式的如ReLU, Leaky ReLU等。为了去掉G(x)的极点，提出如下的safe OPAU。

作者考虑了6种正交多项式基- Chebyshev(两种)，Hermite(两种)，Laguerre和Legendre多项式的基。关于这些多项式基的详细信息见表1。

3.3 通过反向传播学习激活参数

利用反向传播算法和梯度更新神经网络模型中的权值和偏差。这里也采用相同的方法更新激活函数的参数。作者已经在Pytorch和Tensorflow-Keras API实现了自动化更新参数。对输入x和参数计算公式(6)的梯度如下:

4具有orthogonal-Padé激活以及函数近似的网络

Orthogonal-Padé网络类似于Padé网络，即将具有PAU或safe PAU的网络替换为OPAU或safe OPAU。在本文中，将safe OPAUs视为不同正交基的激活函数，如表1所示。用(7)中给出的函数形式近似Leaky ReLU对可学习参数(多项式系数)进行初始化，初始化参数值如下表所示。

利用反向传播方法对网络参数进行了优化。作者对所有的网络都保持了PAU的类似设计，例如每层的权重共享和可学习激活参数。由式(5)可知，每层总共有(k+l)个额外参数。因此，如果网络中有L层，网络中就会有额外的L(k+L)个可学习参数。为了训练网络，作者采用了Leaky ReLU初始化(α=0.01)，而不是随机初始化方法。

使用正交基的一个主要优点是，与标准基相比，可以在运行时间上更快地找到多项式系数。此外，目前广泛使用的激活函数在大多数情况下是零中心的。因此作者在Padé和Orthogonal-Padé近似上施加一些条件，以使已知函数近似为零中心，并检查是否有任何对模型性能的优势(一个明显的优势是每一层的参数量减少了)。

为了使Padé以零为中心，将式(4)中的替换，并计算其他参数。为了保证OPAU的safe，会有几个bad case，作者研究了所有可能的bad case。

例如，如果选择HP-1作为基，如果分子中的常数项为零，则安全的OPAU函数近似可以以零为中心。由式(6)和表1可知，。可以推导出以下情况:

case 1:

case 2:

其中一个等于0。例如，如果，那么等等;

case 3:

在上述PAU和HP-1的所有情况下，作者已经在CIFAR10和CIFAR100数据集上对几个经典的模型进行了实验和测试（Leaky ReLU近似）。作者发现在大多数情况下，模型在top-1准确率下降了0.2%-0.6%。

此外，需要注意的是，具有safe OPAU激活函数的神经网络在C(K)中是dense的，其中K是的一个紧凑子集，而C(K)是K上所有连续函数的空间。

Proposition

• 设是任意连续函数。设表示一类具有激活函数的神经网络，输入层有n个神经元，输出层有1个神经元，隐层有任意数量的神经元。设是compact的。当且仅当是非多项式时，在C(K)中是dense的。

• 设是任意连续函数，它至少在一点上是连续可微的，且在这一点上导数为非零。设是compact的。那么在中，是dense的。

5实验

5.1 CIFAR-100

5.2 Tiny Imagenet

5.3 VOC 2007

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