PyTorch的自动求导机制详细解析,PyTorch的核心魔法
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2022-07-05 10:35
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作者:Vaibhav Kumar
编译:ronghuaiyang
这篇文章详细解析了PyTorch的自动求导机制,让你了解PyTorch的核心魔法。
我们都同意,当涉及到大型神经网络时,我们都不擅长微积分。通过显式求解数学方程来计算这样大的复合函数的梯度是不现实的,特别是这些曲线存在于大量的维数中,是无法理解的。
要处理14维空间中的超平面,想象一个三维空间,大声地对自己说“14”。每个人都这么做——Geoffrey Hinton
这就是PyTorch的autograd发挥作用的地方。它抽象了复杂的数学,帮助我们“神奇地”计算高维曲线的梯度,只需要几行代码。这篇文章试图描述autograd的魔力。
PyTorch基础
在进一步讨论之前,我们需要了解一些基本的PyTorch概念。
张量:简单地说,它只是PyTorch中的一个n维数组。张量支持一些额外的增强,这使它们独一无二:除了CPU,它们可以加载或GPU更快的计算。在设置.requires_grad = True
的时候,他们开始形成一个反向图,跟踪应用于他们的每个操作,使用所谓的动态计算图(DCG)计算梯度(后面会进一步解释)。
在早期版本的PyTorch中,使用torch.autograd.Variable
类用于创建支持梯度计算和操作跟踪的张量,但截至PyTorch v0.4.0,Variable类已被禁用。torch.Tensor
和torch.autograd.Variable
现在是同一个类。更准确地说, torch.Tensor
能够跟踪历史并表现得像旧的Variable
。
import torch
import numpy as np
x = torch.randn(2, 2, requires_grad = True)
# From numpy
x = np.array([1., 2., 3.]) #Only Tensors of floating point dtype can require gradients
x = torch.from_numpy(x)
# Now enable gradient
x.requires_grad_(True)
# _ above makes the change in-place (its a common pytorch thing)
注意:根据PyTorch的设计,梯度只能计算浮点张量,这就是为什么我创建了一个浮点类型的numpy数组,然后将它设置为启用梯度的PyTorch张量。
Autograd:这个类是一个计算导数的引擎(更精确地说是雅克比向量积)。它记录了梯度张量上所有操作的一个图,并创建了一个称为动态计算图的非循环图。这个图的叶节点是输入张量,根节点是输出张量。梯度是通过跟踪从根到叶的图形,并使用链式法则将每个梯度相乘来计算的。
神经网络和反向传播
神经网络只不过是经过精心调整(训练)以输出所需结果的复合数学函数。调整或训练是通过一种称为反向传播的出色算法完成的。反向传播用来计算相对于输入权值的损失梯度,以便以后更新权值,最终减少损失。
在某种程度上,反向传播只是链式法则的一个花哨的名字—— Jeremy Howard
创建和训练神经网络包括以下基本步骤:
定义体系结构
使用输入数据在体系结构上向前传播
计算损失
反向传播,计算每个权重的梯度
使用学习率更新权重
损失变化引起的输入权值的微小变化称为该权值的梯度,并使用反向传播计算。然后使用梯度来更新权值,使用学习率来整体减少损失并训练神经网络。
这是以迭代的方式完成的。对于每个迭代,都要计算几个梯度,并为存储这些梯度函数构建一个称为计算图的东西。PyTorch通过构建一个动态计算图(DCG)来实现这一点。此图在每次迭代中从头构建,为梯度计算提供了最大的灵活性。例如,对于前向操作(函数)Mul
,向后操作函数MulBackward
被动态集成到后向图中以计算梯度。
动态计算图
支持梯度的张量(变量)和函数(操作)结合起来创建动态计算图。数据流和应用于数据的操作在运行时定义,从而动态地构造计算图。这个图是由底层的autograd类动态生成的。你不必在启动训练之前对所有可能的路径进行编码——你运行的是你所区分的。
一个简单的DCG用于两个张量的乘法会是这样的:
图中的每个点轮廓框是一个变量,紫色矩形框是一个操作。
每个变量对象都有几个成员,其中一些成员是:
Data:它是一个变量持有的数据。x持有一个1x1张量,其值等于1.0,而y持有2.0。z持有两个的乘积,即2.0。
requires_grad:这个成员(如果为true)开始跟踪所有的操作历史,并形成一个用于梯度计算的向后图。对于任意张量a,可以按如下方式对其进行原地处理:a.requires_grad_(True)
。
grad: grad保存梯度值。如果requires_grad
为False,它将持有一个None值。即使requires_grad
为真,它也将持有一个None值,除非从其他节点调用.backward()
函数。例如,如果你对out关于x计算梯度,调用out.backward()
,则x.grad
的值为∂out/∂x。
grad_fn:这是用来计算梯度的向后函数。
is_leaf:如果:
它被一些函数显式地初始化,比如
x = torch.tensor(1.0)
或x = torch.randn(1, 1)
(基本上是本文开头讨论的所有张量初始化方法)。它是在张量的操作之后创建的,所有张量都有
requires_grad = False
。它是通过对某个张量调用
.detach()
方法创建的。
在调用backward()
时,只计算requires_grad
和is_leaf
同时为真的节点的梯度。
当打开 requires_grad = True
时,PyTorch将开始跟踪操作,并在每个步骤中存储梯度函数,如下所示:
在PyTorch下生成上图的代码是:
Backward()函数
Backward函数实际上是通过传递参数(默认情况下是1x1单位张量)来计算梯度的,它通过Backward图一直到每个叶节点,每个叶节点都可以从调用的根张量追溯到叶节点。然后将计算出的梯度存储在每个叶节点的.grad
中。请记住,在正向传递过程中已经动态生成了后向图。backward函数仅使用已生成的图形计算梯度,并将其存储在叶节点中。
让我们分析以下代码:
import torch
# Creating the graph
x = torch.tensor(1.0, requires_grad = True)
z = x ** 3
z.backward() #Computes the gradient
print(x.grad.data) #Prints '3' which is dz/dx
需要注意的一件重要事情是,当调用z.backward()
时,一个张量会自动传递为z.backward(torch.tensor(1.0))
。torch.tensor(1.0)
是用来终止链式法则梯度乘法的外部梯度。这个外部梯度作为输入传递给MulBackward
函数,以进一步计算x的梯度。传递到.backward()
中的张量的维数必须与正在计算梯度的张量的维数相同。例如,如果梯度支持张量x和y如下:
x = torch.tensor([0.0, 2.0, 8.0], requires_grad = True)
y = torch.tensor([5.0 , 1.0 , 7.0], requires_grad = True)
z = x * y
然后,要计算z
关于x
或者y
的梯度,需要将一个外部梯度传递给z.backward()
函数,如下所示:
z.backward(torch.FloatTensor([1.0, 1.0, 1.0])
z.backward()
会给出 RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs
反向函数传递的张量就像梯度加权输出的权值。从数学上讲,这是一个向量乘以非标量张量的雅可比矩阵(本文将进一步讨论),因此它几乎总是一个维度的单位张量,与 backward
张量相同,除非需要计算加权输出。
tldr :向后图是由autograd类在向前传递过程中自动动态创建的。
Backward()
只是通过将其参数传递给已经生成的反向图来计算梯度。
数学—雅克比矩阵和向量
从数学上讲,autograd类只是一个雅可比向量积计算引擎。雅可比矩阵是一个非常简单的单词,它表示两个向量所有可能的偏导数。它是一个向量相对于另一个向量的梯度。
注意:在这个过程中,PyTorch从不显式地构造整个雅可比矩阵。直接计算JVP (Jacobian vector product)通常更简单、更有效。
如果一个向量X = [x1, x2,…xn]通过f(X) = [f1, f2,…fn]来计算其他向量,则雅可比矩阵(J)包含以下所有偏导组合:
上面的矩阵表示f(X)相对于X的梯度。
假设一个启用PyTorch梯度的张量X:
X = [x1,x2,…,xn](假设这是某个机器学习模型的权值)
X经过一些运算形成一个向量Y
Y = f(X) = [y1, y2,…,ym]
然后使用Y计算标量损失l。假设向量v恰好是标量损失l关于向量Y的梯度,如下:
向量v称为grad_tensor
,并作为参数传递给backward()
函数。
为了得到损失的梯度l关于权重X的梯度,雅可比矩阵J是向量乘以向量v
这种计算雅可比矩阵并将其与向量v相乘的方法使PyTorch能够轻松地为非标量输出提供外部梯度。
好消息!
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