深入探讨：简单的label smooth为什么能够涨点？

感谢深度眸在本文中对我的帮助。

前言

本文的开头先引用下《深度学习》中文版，第四章开头的一段话。

机器学习的算法通常需要大量的数值计算。这通常是指通过迭代过程更新解的估计值来解决数学问题的算法，而不是通过解析过程推导出公式来提供正确解的方法。常见的操作包括优化（找到最小化或者最大化函数值的参数）和线性方程组的求解。对数字计算机来说实数无法在有限内存下精确表示，因此仅仅是计算涉及实数的函数也是困难的。

这里就涉及到两个求解数学问题的方法：

1. 迭代更新解的估计值，如通过二分法和牛顿迭代法求开方的过程。
2. 解析过程推导公式，如我们考试中的那些需要大量计算的数学题，一般最后会得出一个解析解。

在整日学习深度学习之后，我们有的时候也需要用解析解，即公式推导求解一些深度学习的问题。

one-hot解析解推导

神经网络的输出称为logits，简记为，经过softmax之后转化为和为1的概率形式，记为，真值target记为，为分类类别的数量。本文所有讨论的内容是在导数等于0的情况下（解析解的情况下），为多少（神经网络的输出是多少）。当损失函数为交叉熵且target的编码和为1时, 导数则为（求导过程文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/343988823 ）, 假设总共有个类. 可以有如下的公式.

令公式（1）的导数等于0, 可以得到公式（2）, 记真值下标为.

是通过推导出来的, 则

通过公式（3.1）可得

通过公式（3.2）也可以得上面的结果。所以target为one-hot编码，损失函数为交叉熵的情况下。解析解是

所以通过上述推导可以得到：最优的情况下，在one-hot编码和交叉熵的损失函数下，错误类的logit值要是负无穷，正确类要是一个常数。这种最优的情况一般是不能达到的，且会远大于. 在文章《Rethinking the inception architecture for computer vision》里面认为如果远大于，会出现两个不好的性质

1. 导致过拟合，将所有的概率都赋给了真值，会导致泛化能力下降
2. 鼓励真值对应的logit远大于其他值的logit，但是导数是有界的，也就是数值不会很大，想要达成远大于的效果，要更新很多很多次。

个人认为：logit要是负无穷，损失才会变为0，神经网络很难会有输出负无穷的情况（权重衰减还会约束着神经网络的参数）

label smooth解析解推导

label smooth是在《Rethinking the inception architecture for computer vision》里面提出来的。我觉的作者的想法应该是这样的：蒸馏改变了学习的真值，能获得更好的结果，但是它需要准确率更高的教师网络；如果我现在想要训练出一个准确率最高的模型，那么是没有网络能给我知识的，所以就通过label smooth学习一种简单的知识。

label smooth 学习的编码形式如公式（4）所示，其中是预定义好的一个超参数，一般取值0.1，是该分类问题的类别个数

令公式（4）导数等于0，可得到公式（5.1）和（5.2）。类似于公式（1）的求导，但是要注意target编码的和要为1（ https://zhuanlan.zhihu.com/p/343988823 里面有解释）.

因为正确的类只有1个；错误的类有K-1个，且解析解的情况下，错误类的概率是相等的。所以公式(5.1)可以推导为公式（6）：

把公式（6）的放到右边，两边再取下对数可得公式（7）

我们通过公式（5.2）也能推出相同的解。右边的公式分子分母颠倒一下可得公式（8）

因为错误类的值是相等的，所以,则可得公式（9）

将记为, 则可得公式（10），即导数等于0的情况下，logit的取值。

和论文《bag of tricks for image classification with convolutional neural networks》中，给出的结果是一样的（文章里面交叉熵的和好像写反了） 带入label smooth定义的公式验算一下则是

所以，在损失函数为交叉熵的情况下，如果我们使用label-smooth编码，错误类的logit不会要求是负无穷。且错误类和正确类的logit值有一定大小误差的情况下，loss就会很小很小。

label smooth中的gap

论文《bag of tricks for image classification with convolutional neural networks》还画出了gap图，此处的gap就是导数等于0的情况下，和之间的数值误差

gap就是，其中K是分类的类别数，（eps）是label smooth的超参数。假设取0.5且是1000分类，那么

意思是，正确类和错误类的误差等于7就够了，损失不想要继续更新参数让他们的误差越来越大。实际代码的过程中，一般取即可。

总结

one-hot的编码方式需要错误类的logit趋向于负无穷，这样会导致正确类和错误类的logit输出误差很大，网络的泛化能力不强。并且因为网络训练时会有一些正则化的存在，logit的输出很难是负无穷。label-smooth的编码方式只要正确类和错误类有一定的数值误差即可，这个取决于分类的类别数量和。网络极使在正则化的情况下也比one-hot容易学习到最优情况。

代码

这里推荐https://github.com/CoinCheung/pytorch-loss/blob/master/label_smooth.py，大家需要注意的是这个代码的编码表示值和好像不为1.