100种分析思维模型之:中心极限定理
林骥
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2023-10-15 06:16
你好，我是林骥。 在我们的日常生活中，一些看似没有规律的随机事件，其实背后隐藏着一个神奇的定理。 下面介绍 100 种分析思维模型的第 74 种：中心极限定理，它能帮助我们更好地理解事物背后的规律。 1. 为什么学习 中心极限定理 ？ 学习中心极限定理有很多好处，下面简要总结 3 点： ① 更好地理解数据分布 通过学习中心极限定理，我们可以更好地理解数据分布的特点，从而更准确地提取有价值的信息。 ② 增强 数据分析 的能力 学习中心极限定理可以帮助我们更好地分析数据，提升我们的数据分析能力，因为它不仅是一种理论工具，更是一种思维方式。 ③ 更好地解决实际问题 中心极限定理有着广泛的应用，比如市场调研、质量控制、风险评估、医学研究、社会调查等，掌握中心极限定理，能帮我们更好地解决现实生活中遇到的问题。 总之，中心极限定理为我们提供了一种强有力的工具，帮助我们更好地理解现实世界，进而给我们带来深远而有益的影响。 2. 什么是 中心极限定理 ？ 中心极限定理是概率论与数理统计中的重要定理，它的核心思想是：无论原始随机变量如何分布，当样本量足够大时（至少 30 个），样本均值总会趋近于正态分布。
比如，虽然总体上人们的财富属于 幂律分布 （符合二八法则），但是如果每次随机抽取 n 个人，总共随机抽 m 次，那么这 m 次抽样的平均值就趋近于正态分布。 需要注意的是，样本量 n 不能太小，且为了保障抽样的随机性，每次抽样都要保持独立，不能相互影响。 如下图所示，随着样本量 n 的增加，无论总体分布的形状如何变化，最终样本均值都将趋近于正态分布。
按照中心极限定理揭示出来的规律，每个随机事件最终都将演化成正态分布的样子。 也就是说：所有的分布，不是正态分布，就是在变成正态分布的路上。 这个过程类似于熵增定律：宇宙中一切封闭的系统，在没有外力做功的情况下，都在朝着熵增（混乱、无序）的方向发展。 3. 怎么运用 中心极限定理 ？ 运用中心极限定理，我们可以解释现实生活中的很多现象。 比如，为什么人类的身高服从正态分布？ 这是因为影响一个人身高的因素有很多，有研究表明，除了外在环境的影响之外，人体内至少有 180 个基因会影响人的身高，这些因素可以近似地看作是独立的随机变量。 根据中心极限定理，如果一个事物受到多个独立因素的影响，不管每个因素本身属于什么分布，它们汇总在一起之后，其结果的平均值就会服从正态分布。 我们还可以从中心极限定理中获得启发，用来促进个人的成长。 ① 接纳变化 我们不妨把不同的人生经历看作是独立的随机变量，中心极限定理表明，大量随机变量的总和将趋近于正态分布，这意味着无论生活如何变化，虽然中间会有起起伏伏，但是长期来看，大概率都将回归到正常的状态。 在个人成长的过程中，你可能会遇到各种挫折和失败，但你可以从中学到经验和教训，并且随着时间的推移，这些失败的经历将会促进你的成长。 学会接纳世界的不确定性，勇于尝试新的事物，主动适应新的变化，这样就能增加自己的人生体验。 ② 持续积累 中心极限定理需要样本量足够大才会生效，个人也需要时间去积累才会成长。你流过的每一滴汗，读过的每一本书，都将随着时间的积累，逐渐改变你的身体，提升你的认知。 当我们养成记录时间和情绪的习惯之后，通过跟踪分析自己的成长数据，就能从中获得一些有价值的信息，从而更加合理地安排好自己的时间，驾驭好自己的情绪，进而加速个人成长。 通过持续努力学习，我们可以不断积累丰富的知识技能，最终实现个人成长的目标。 ③ 保持平衡 在中心极限定理中，正态分布是一种均衡的结果。 同理，在个人成长中，保持身心的平衡非常重要。 我们要多关注自己的健康、情绪和人际关系，让自己在不同方面取得均衡的发展，进而过上更加幸福的生活。 总的来说，运用中心极限定理的理念，通过接纳变化、持续积累和保持平衡，我们可以实现更好地成长。 最后的话 我们每天都会遇到各种各样的随机事件，如果我们任由其发展，那么生活可能就会变得越来越混乱，逐渐脱离我们的掌控。 比如，睡眠不规律、饮食不规律、情绪不稳定、习惯不好、琐事缠身、浑浑噩噩、得过且过，等等。 要想改变自己的命运，就要学会建立一套开放的系统，相信系统的力量，并选择主动进行管理，坚持长期主义，把无序变成有序，这是一个「逆熵增」的过程。 中心极限定理 不仅从理论上证明了正态分布的产生方式，还从根源上揭示了正态分布普遍存在的原因。 也就是说，中心极限定理是「因」，正态分布是「果」。正是因为有了中心极限定理，所以才有正态分布的普遍存在。 普通人改变结果，优秀的人改变原因，而卓越的人改变思维模型。 如果把正态分布比作喜马拉雅山脉，那么中心极限定理就像是青藏高原。正是因为有了青藏高原这个坚实的基础，所以喜马拉雅山脉才能成为世界最高的山脉。 由于中心极限定理如此重要，所以它和 大数定理 一起，被称为概率论的两大「黄金定理」，为统计学提供了严格的数学证明，打下了坚实的理论基础。 让我们学习并应用中心极限定理，建立一套判断和选择的标准，把局部的随机性，转化为整体的确定性，在数据的汪洋大海中，更加准确地找到前进的方向，最终抵达目的地。 延伸学习： 《刘嘉概率论通识讲义》（刘嘉，2021年） 《统计学图鉴》（[日] 栗原伸一，2021年） 《模型思维》（[美]斯科特·佩奇，2023年） 相关文章： 100 种分析思维模型系列
比如，虽然总体上人们的财富属于 幂律分布 （符合二八法则），但是如果每次随机抽取 n 个人，总共随机抽 m 次，那么这 m 次抽样的平均值就趋近于正态分布。 需要注意的是，样本量 n 不能太小，且为了保障抽样的随机性，每次抽样都要保持独立，不能相互影响。 如下图所示，随着样本量 n 的增加，无论总体分布的形状如何变化，最终样本均值都将趋近于正态分布。
按照中心极限定理揭示出来的规律，每个随机事件最终都将演化成正态分布的样子。 也就是说：所有的分布，不是正态分布，就是在变成正态分布的路上。 这个过程类似于熵增定律：宇宙中一切封闭的系统，在没有外力做功的情况下，都在朝着熵增（混乱、无序）的方向发展。 3. 怎么运用 中心极限定理 ？ 运用中心极限定理，我们可以解释现实生活中的很多现象。 比如，为什么人类的身高服从正态分布？ 这是因为影响一个人身高的因素有很多，有研究表明，除了外在环境的影响之外，人体内至少有 180 个基因会影响人的身高，这些因素可以近似地看作是独立的随机变量。 根据中心极限定理，如果一个事物受到多个独立因素的影响，不管每个因素本身属于什么分布，它们汇总在一起之后，其结果的平均值就会服从正态分布。 我们还可以从中心极限定理中获得启发，用来促进个人的成长。 ① 接纳变化 我们不妨把不同的人生经历看作是独立的随机变量，中心极限定理表明，大量随机变量的总和将趋近于正态分布，这意味着无论生活如何变化，虽然中间会有起起伏伏，但是长期来看，大概率都将回归到正常的状态。 在个人成长的过程中，你可能会遇到各种挫折和失败，但你可以从中学到经验和教训，并且随着时间的推移，这些失败的经历将会促进你的成长。 学会接纳世界的不确定性，勇于尝试新的事物，主动适应新的变化，这样就能增加自己的人生体验。 ② 持续积累 中心极限定理需要样本量足够大才会生效，个人也需要时间去积累才会成长。你流过的每一滴汗，读过的每一本书，都将随着时间的积累，逐渐改变你的身体，提升你的认知。 当我们养成记录时间和情绪的习惯之后，通过跟踪分析自己的成长数据，就能从中获得一些有价值的信息，从而更加合理地安排好自己的时间，驾驭好自己的情绪，进而加速个人成长。 通过持续努力学习，我们可以不断积累丰富的知识技能，最终实现个人成长的目标。 ③ 保持平衡 在中心极限定理中，正态分布是一种均衡的结果。 同理，在个人成长中，保持身心的平衡非常重要。 我们要多关注自己的健康、情绪和人际关系，让自己在不同方面取得均衡的发展，进而过上更加幸福的生活。 总的来说，运用中心极限定理的理念，通过接纳变化、持续积累和保持平衡，我们可以实现更好地成长。 最后的话 我们每天都会遇到各种各样的随机事件，如果我们任由其发展，那么生活可能就会变得越来越混乱，逐渐脱离我们的掌控。 比如，睡眠不规律、饮食不规律、情绪不稳定、习惯不好、琐事缠身、浑浑噩噩、得过且过，等等。 要想改变自己的命运，就要学会建立一套开放的系统，相信系统的力量，并选择主动进行管理，坚持长期主义，把无序变成有序，这是一个「逆熵增」的过程。 中心极限定理 不仅从理论上证明了正态分布的产生方式，还从根源上揭示了正态分布普遍存在的原因。 也就是说，中心极限定理是「因」，正态分布是「果」。正是因为有了中心极限定理，所以才有正态分布的普遍存在。 普通人改变结果，优秀的人改变原因，而卓越的人改变思维模型。 如果把正态分布比作喜马拉雅山脉，那么中心极限定理就像是青藏高原。正是因为有了青藏高原这个坚实的基础，所以喜马拉雅山脉才能成为世界最高的山脉。 由于中心极限定理如此重要，所以它和 大数定理 一起，被称为概率论的两大「黄金定理」，为统计学提供了严格的数学证明，打下了坚实的理论基础。 让我们学习并应用中心极限定理，建立一套判断和选择的标准，把局部的随机性，转化为整体的确定性，在数据的汪洋大海中，更加准确地找到前进的方向，最终抵达目的地。 延伸学习： 《刘嘉概率论通识讲义》（刘嘉，2021年） 《统计学图鉴》（[日] 栗原伸一，2021年） 《模型思维》（[美]斯科特·佩奇，2023年） 相关文章： 100 种分析思维模型系列
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