FFT算法讲解

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  傅立叶变换的物理意义？

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

  为什么要进行傅立叶变换？

傅立叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好!信号特征可以用特征值进行量化。所谓特征值，是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形，可能需要多个特征值。傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

  什么是FFT？

图2 时域到频域

  什么是频率泄漏？

频谱波分析一段采集时间较长的数据，需要将数据切成一帧帧进行分析，这个过程称为信号截断。信号截断分为周期截断和非周期截断。这一点还是比较好理解，就是在数据切成一帧帧的时候，每帧数据是否为周期信号进而判断是哪种类型截断。如图3显示。

图3 信号截断

周期截断不存在频谱波泄漏，这是因为信号频率成分为频率分辨率的整数倍。非周期截断如图所示，由于重新组成数据进行频谱波分析幅值出现拖尾，即会造成如图3-2频谱图的现象，所以信号的非周期截断，导致频谱在整个频带内发生了拖尾现象，由于能量守恒最终导致幅值比原来的低，这就是幅值泄漏。

  栅栏效应

栅栏效应指的是离散傅立叶变化过程的频谱被限制在基频整数倍处，犹如栅栏一样关注的频率主要分布在木块之间，如图4所示。

图4 栅栏效应

  窗函数及类型

前面已经了解泄漏问题，我们可以通过加合适的窗函数来尽可能减少频谱拖尾的现象，那么什么是窗函数呢？简单理解就是不同的信号截断函数如图5所示，常见的窗函数有以下几种：

图5 窗函数类型

矩形窗相当为没加窗，常用于周期信号；信号随机或未知，或者多个频率分量，测试关注是频率而非能量大小，则选择汉宁窗；对校准目的，要求幅值精准，适用平顶窗；如果要求幅值频率的精度，则选择凯塞窗；检测两信号频率相近，幅值不同的，建议用布莱克曼窗。

  加窗后幅值和频率修正

通过前面已经了解加窗函数可减少泄漏现象，但频率栅栏效应没得到修复，加窗后幅值泄漏现象也只得到缓解，那么可以通过插值算法来得到一个准确的幅值和频率。算法原理是各个频率成分主瓣形状将近似窗函数频谱的主瓣形状，如果这形状可以用某个函数来描述，则可利用主峰两侧的谱线通过插值计算出主峰的高度，从而克服栅栏效应。

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