量子力学的路径积分和退相干诠释-技术圈

数学算法俱乐部

日期： 2020年11月20日

正文共：6868字

来源：算数君

与相对论一出现就用颠覆静态时空观念给人巨大震撼不同，量子力学第一次出现时只是假设能量不连续，好像对人们并没有什么冲击。但是随着时间推移，量子力学给人们带来的冲击越来越大，远远超过了相对论，连爱因斯坦都无法接受。

物理学的精髓是做出预测，只要能给出公式做精确计算，只要能自圆其说，所有解释就都是完全等价的。量子力学的正统诠释是二战前出现的哥本哈根诠释，引入了波粒二象性、坍缩、叠加态等一系列让人三观崩溃的概念，路径积分和以路径积分为基础的退相干诠释出现在二战后，这个诠释向经典物理做了一定程度的回归，根据这个诠释，我们可以扔掉难以理解的波粒二象性，回到熟悉的粒子世界，粒子，也就是可以被当做质点处理的物体。当然，质量可以为零，比如光子。

颠覆惯性定律

按照哥本哈根正统诠释，正如相对论中不只光具有光速一样，在量子力学中，也不是只有光具有波粒二象性，而是所有的物体都具有波粒二象性。而路径积分抛开波粒二象性概念的关键是：颠覆惯性定律。

惯性定律：在不受外力的情况下，物体要么保持静止，要么保持匀速直线运动。怎么颠覆呢？惯性定律说的都反对就行了：在不受外力的情况下，物体既不保持静止，又不做匀速直线运动。否定容易，还得给出新结论，新结论是：在不受外力的情况下，物体做一种非常混乱的运动。不过，混乱确实够混乱，但还是有规律的，这个规律就是波函数。完整表述：在不受外力的情况下，物体按照波函数运动。

物体按照波函数运动是什么意思？先看典型的经典波动——水波，经典水波运动，把水的最小不可分单位当做质点处理，这些质点按照经典波动方程运动起来就形成了水波。要理解量子力学的波动，只要看看和水波之间的区别就行。

第一点区别：水波需要波源提供能量输入，一旦停止能量输入，波动就会逐渐停止。而量子力学里面的波动不需要波源，不需要能量输入，是这些质点自身的属性。

运动的物体都有动量，也就是能量，那么质点自身在永不停歇的波动，岂不是有源源不断的能量？岂不是可以制造永动机了？原则上说，量子力学里面的质点确实拥有源源不断的能量，称为能级。但是说到永动机，从目前的理论上来说，没有办法持续提取这份能量。

第二点区别：水波的边界是明确的，局限在有限范围内。而量子力学的波动，无论是薛定谔方程还是狄拉克方程，都没有明确边界，理论上充满整个宇宙。

第三点区别：在水波运动里面，单个质点的运动遵守牛顿力学定律，波动运动是大量按照牛顿力学运动的质点，累加后表现出来的现象。而量子力学里面，单个质点也不遵守牛顿力学定律，也在做波动运动。给定位置，从单粒子的波函数可以解出这个位置的一个数值，这个值的含义是：质点出现在这个位置的概率。

单质点波动方程的解的意义是概率，这一点非常重要，值得花费一个小节来说明。先说一下“质点”：量子力学把基本粒子看做不占体积的物体，也就是基本粒子可以看做质点。

概率、坍缩、观测、叠加态

按照哥本哈根正统诠释，在不被观测时，粒子是不存在的，只有一个弥散在整个宇宙空间的波，或者有人喜欢说是场，总之是一个不能被处理成质点的东西。一旦被观测，也就是想要获取它的位置、动量数据，它就变成了能被处理成质点的粒子，从波或者说场变成粒子的过程叫做坍缩。当然，在物体保持波或者场的状态时，它在空间各点的分布并不均匀，它是按照波动方程解出的概率值来分布的。等价的说法是，它的位置处于空间各点的叠加态。

物体可以从波或者说场瞬变为可以被处理成质点的粒子，而触发条件是观测！真玄乎啊，还是看看路径积分诠释吧。按照路径积分诠释，简单地说，粒子始终是粒子，被观测前，它在整个宇宙空间急速运动。整个宇宙中间极速运动？岂不是超光速了？后面再讨论超光速的问题，这里先接着说物体在整个宇宙空间急速运动，当然是按照波函数运动的，也就是物体在运动过程中，经过空间各点的次数是不同的，波动方程求出的概率，就是反映物体路过指定位置次数多少的度量。这个概率是由频率得出来的。正统诠释里面玄玄乎乎的坍缩、叠加态，都用不着了。本来就是实在的质点粒子，观测时它当然仍然是粒子形态了。

继续说起来，就要说到测不准和不确定性的争辩了。在继续之前，先看看双缝实验，看看观测是怎么被牵扯进来的。

双缝实验

很多文章对双缝实验说得令人费解，是因为没有从单缝说起。双缝实验最初是用光做的，后来改用有质量的粒子做，首先用的是电子，之后发展到各种各样的粒子，甚至用了质量、体积都很大的分子，都能得出同样的实验结果。这里用电子来描述，如图所示，经典物体过单缝，波会衍射，粒子走直线，表现截然不同：

根据经典波动和经典粒子过单缝的表现来预测，如果电子是波，那么在单缝后面的检测板上应该检测到明暗相间的条纹。如果电子是粒子，检测板上应该检测到一条亮带，中间最亮，向两边逐渐变暗，直到消失。实验检测到的电子过单缝是什么表现呢？一条亮带，是经典粒子的表现。

经典物体过双缝仍然有截然不同的表现：

根据经典波动和经典粒子过双缝的表现来预测，跟单缝类似，如果电子是波，那么检测板上应该检测到明暗相间的条纹。如果电子是粒子，那么检测板上应该检测到两条亮带，中间最亮，向两边逐渐变暗，直到消失。实验检测到的电子过双缝是什么表现呢？是明暗相间的条纹，这是经典波动的表现。

这就是波粒二象性的来源：电子过单缝表现为粒子，过双缝表现为波。随后有人设计改进双缝实验，在双缝后安装检测装置，想看看电子究竟走的哪条路径，得到了如图所示的实验结果：

双缝后的检测装置被设计为电子必须走直线才能被检测到，之前的实验结果已经清楚地表明电子过双缝应该发生衍射，那么电子应该可以绕过检测装置，检测板上仍然应该出现干涉条纹，当然会发生一点变化。然而这次的实验结果是，检测装置可以检测到所有电子，而看不到干涉条纹！检测装置安装在缝隙后面，电子到达检测装置时已经通过了双缝，按理说不影响电子的行为，也就是电子应该仍然表现为波，先衍射再干涉。然而事实却是检测装置居然影响到了电子。这就是哥本哈根正统诠释引入“观测”这个概念的原因。由于做了观测，波坍缩为粒子了。

测不准和不确定性

不确定性原理，有人喜欢说是测不准原理，连有些教材都说成是测不准原理。两者的区别很清楚，不确定性是说在测量前，不存在确定的粒子动量、位置。测不准原理是说在测量前粒子的动量、位置是确定的，只是没办法测量出来。很明显，测不准更符合经典物理。那么究竟是不确定还是测不准呢？

以电子双缝实验为例，根据哥本哈根正统诠释，在被观测前，没发生坍缩的时候，电子保持波的状态，这种状态连粒子都不存在，遑论确定的粒子位置和动量，所以是不确定，不是测不准。只有在遇到检测装置的时候，波才坍缩为粒子，生成位置和动量这两个信息。

再来看路径积分诠释。在路径积分诠释里面，粒子始终是粒子，但是由于粒子在按照波函数永不停歇地运动，我们只能得到粒子出现在各个位置的概率，不能百分百得出粒子下一刻将会运动到哪里，也就没办法得到物体精确的运动速度，更无从谈起动量了。为什么加装检测装置后，电子就走直线了呢？因为根据波函数计算，电子进入检测装置这个概率接近一。这个描述，看起来似乎更像是测不准，而不是不确定。

用猜骰子来举例，用扣碗把量子态的骰子扣到桌子上让你猜点数。根据正统诠释，在你打开扣碗看到骰子的点数之前，骰子并不是一个实在的骰子，而是一个波。连骰子都不存在，当然谈不上点数了。只有在你看到骰子的一瞬间，骰子才变成骰子，显示出它的点数。

根据路径积分诠释，骰子还是骰子，只不过这个骰子在按照波函数急速运动，急速运动中的骰子自然是没有确定的点数的，观测相当于给骰子拍一个快照，可以得到骰子在观测瞬间的点数。从这例子来说，骰子在每个瞬间都是有确定的点数的，只是测不准。

不过，还有个骰子例子没办法体现出来的重要的一点，粒子的位置和动量这两个信息之间是不对易的，没办法在同时得出精确结果。大概可以理解为获取粒子位置和动量总有个先后顺序，每一个获取动作都会改变这个粒子的状态，所以先获取位置还是先获取动量，得到的两个信息是不一样的。这个不对易关系是哥本哈根正统诠释和路径积分诠释的共同点。这一层意思，嗯还是更像测不准，不像不确定。好，继续看下一节。

从薛定谔方程到狄拉克方程

波函数经历了从薛定谔方程到狄拉克方程的发展过程，这两个方程的区别是狄拉克方程引入了洛伦兹变换，这一点区别决定了薛定谔方程是非相对论的，或者说不含时的，而狄拉克方程是相对论的，或者说是含时的。什么叫含时？就是包含了时间这个因素，薛定谔方程是基于三维空间，狄拉克方程基于四维时空。

包含了时间，或者说引入相对论，就又可以引出一些新结论了。前面说到，粒子波动运动的范围是整个宇宙，换句话说，甚至有概率瞬间跨越上百亿光年，严重超光速啊！相对论的公式都是基于有质量物体无法达到光速得出来的，现在这些粒子超光速了，代入相对论的公式能得到什么结果呢？通常的结果是：时间、空间变成了虚数。也有物理学家加入一些其他条件，可以借助超光速得出负数时空。虚数、负数的时空，代表了什么物理含义？

基本粒子的距离可以无限小，使得粒子相互间的作用力无穷大。其中电磁力、强力和弱力的无穷大可以通过重整化技巧消除掉，但是引力却是特殊的，引力来自时空弯曲，而重整化要求平直时空，所以无法用重整化技巧消除掉引力的无穷大。超弦理论通过引入高维空间解决了这个问题，不过由于超弦理论迄今还没有被实验证实，我们这里先不管超弦，仍然在量子力学的范围内讨论：无穷大的引力会引起什么？把无穷大的引力代入广义相对论方程，得到了跟超光速一样的东西：虚数和负数的时空，它们的物理含义被解释为黑洞、虫洞、时间倒流等。基本粒子制造的黑洞虫洞，当然是跟基本粒子量级的微型黑洞、虫洞，只允许基本粒子通过，只有基本粒子的时间能倒流。

回头看看粒子超光速引起的虚数和负数时空，既然都是虚数和负数时空，那应该是一样的物理含义，也就是黑洞、虫洞、时间倒流。其实这些东西归根结底都是同一个效果：使基本粒子能在时空中跳跃。好我们就抛开这些中间概念，直接说引入相对论后，基本粒子获得了时空跳跃能力。

费曼是这样用时间倒流来解释反粒子的：以电子和正电子相遇后湮灭并释放出一个光子这个现象为例，费曼认为这正负两个电子其实是同一个电子，这个电子释放出光子，然后变成正电子，再逆着时间往回运动，从我们正常的时序看起来就感觉是正负两个电子发生了湮灭。

量子涨落、量子隧穿也可以用时空跳跃来解释。量子涨落是说，在一无所有的真空中，可以凭空出现基本粒子，很快又消失，复归于一无所有。量子隧穿是说，在粒子旁边设置一个叫做势垒的障碍，直观理解的话可以当做一堵墙，本来以粒子的能量打不破这堵墙，但是实际发现粒子居然有时候可以穿过势垒。这两个现象都是从不确定性原理直接推导出来的，但是物理含义呢？一种解释是从宇宙中临时借到了能量。量子涨落是用借到的能量生成粒子，粒子瞬间又变回能量还给宇宙。量子隧穿是用借到的能量提升了粒子能级，穿过势垒后再降低能级，释放能量还给宇宙。

从宇宙中借能量？说得好像宇宙中有一个能量管理机构一样，太玄乎了。如果把时空跳跃引入，解释起来就自然多了：量子涨落是粒子跳跃到了真空中，瞬间又跳了回去。量子隧穿更简单，粒子跳过了势垒。

用时空跳跃也可以很自然地解释量子纠缠。一对处于纠缠态的粒子，它们的波函数是互相关联的，比如两个粒子的自旋方向相反，不论把它们分开多远，哪怕距离以光年计，只要观测到了其中一个粒子的状态，比如观测到是上旋，那么另一个就会立即变成下旋状态。根据哥本哈根正统诠释，在观测前，这一对纠缠态粒子是一个整体，可以认为是一个拥有两份粒子能量的波，哪怕相隔光年级的距离，它也是只有一个波，当然也就只能坍缩一次，一次坍缩为两个粒子。

如果换成用时空跳跃来解释，那就是这两个粒子一直在进行时空跳跃，互相跳到对方的时空，所以看起来距离以光年计，实际上在同一处，所以它们的运动状态一直关联在一起。

当粒子可以进行时空跳跃，能够在整个宇宙空间，过去未来随意穿行，还能说它具有确定的位置和动量吗？

重新认识“力”：颠覆加速度定律和反作用力定律

加速度定律和反作用力定律是牛顿第二和第三定律，加速度定律是说物体受到外力后会沿着力的方向产生一个加速度。反作用力定律是说给物体施加一个力，施力物体会受到大小相等方向相反的力。

加速度定律和反作用力定律的共同点是，都在描述“力”。那么，“力”是什么东西？按照牛顿的定义，力是物体间的相互作用。怎么判断物体受力了呢？这要通过物体运动状态的改变来判断。也就是说，质量、运动状态是基础定义，力是建立在基础定义上的派生定义。

在量子力学创立的时代，物体间的相互作用只有两种，一种是引力，另一种是电磁力，后来在轰开原子核得到的粒子上面又发现了强力和弱力。宏观上，除引力之外的力，比如人去推或拉一个物体，物体之间的碰撞，等等，都是电磁力。相对论用时空弯曲完美解释了引力的成因，引力符合加速度定律和反作用力定律。但是电磁力、强力和弱力就不同了，这三种力的成因都是交换信使粒子。以最先发现的电磁力为例，电磁力是带电粒子通过交换光子产生的。

通过交换信使粒子产生的这三种力就不符合加速度定律和反作用力定律了。还是以电磁力为例，给电子施加电磁力，也就是电子释放或吸收光子后，它运动状态的改变是修改波函数的一些参数，参数变动后的运动轨迹仍然要用波函数来描述。与其说是运动状态改变了，更准确的说法是动量改变了，换个说法是：能级跃迁。那么，这个电磁力的施力者情况怎么样呢？电磁力施力者，同样是释放或者吸收光子，当然也就产生了同样的能级跃迁。强力、弱力也都是类似情况，数学上说是波函数参数变化，物理上说是产生了能级跃迁。

需要特别指出的是，这里说的“同样的能级跃迁”，指的是施力和受力的粒子都产生了能级跃迁，并不是说它们的状态变化完全一样。其实，这里也不存在经典意义上的“施力者”“受力者”。归根到底，之所以加速度定律和反作用力定律不再使用，如果按照路径积分诠释，那么本质原因还是因为粒子在永不停歇地按照波函数高速运动，这种复杂的运动无法进行简单的速度合成，也无法简单计算反作用力，只能描述整体运动状态。如果按照哥本哈根正统诠释，那么本质原因是因为不存在能够被简化为质点的粒子。

这段描述是针对单个粒子的。对于多粒子系统怎么处理呢？只能一个个计算。随着粒子数量增加，计算量也会急剧增加，很快计算机都算不出来了。不过好在，粒子数目足够多的时候就会变成宏观物体，可以用牛顿力学来计算了。微观和宏观之间当然不存在明确的界限。这个从微观量子力学计算得到宏观结论的过程，就要用以路径积分为基础的退相干来解释了。

退相干诠释薛定谔的猫

薛定谔的猫可能是量子力学里面最为大众熟知的名词了。一只猫待在一个黑箱子里，黑箱子里有个毒气开关，这个毒气开关由一个放射性原子控制。如果原子核衰变则放出毒气毒死猫，如果原子核不衰变则不释放毒气，猫就可以活着。在打开箱子观测前，猫是死还是活？

原子核衰变是由于原子核内部粒子的运动和相互作用，引起粒子从原子核内跑到外面的过程。而原子核内部粒子的运动用波函数描述，这是一个典型的量子事件，只能得到概率，不能得出确定的结果。根据哥本哈根正统诠释，在观测前，原子核的状态处于衰变和不衰变的叠加态。那么由此导致，猫也处于死和活的叠加态。

死活叠加态的猫？这正是薛定谔猫的惊世骇俗之处，它连通了微观和宏观。人们对微观世界没有直观体验，还可以接受波函数、叠加态这些概念描述。但是宏观世界是可以直观感受的，从来没人感受到过波函数、叠加态这样的东西，处于生死叠加态的猫就实在太难以想象了，所以薛定谔本人认为死活叠加态的猫是谬论，进而他认为微观粒子的叠加态也是谬论。

基于路径积分的退相干诠释，让我们可以平稳地从量子态的微观粒子过渡到经典的宏观物体。退相干诠释认为，如果只有单个原子核，粒子留在原子核内部，或者跑到原子核外面的概率由波函数解出，其中跑出来的粒子有可能再跑回去，也有可能再跑出来，总之粒子各种运动路径都是有可能的，我们能得到的只有最终的概率。但是现在跑出来的粒子要跟毒气开关发生相互作用，毒气开关要跟毒气相互作用，进而再把跟猫牵扯进来，这些东西都包含巨量的粒子，他们已经变成了一个整体系统，必须把这巨量粒子的波函数和他们之间的相互作用全部拉进来，得出一个统一的波函数，这个最终的波函数，就退化成了经典物理的确定值。退相干诠释的核心要点是，宏观世界的经典物理规律，可以从微观粒子按照量子力学规律计算得到，他们是等价的。而薛定谔的猫，由于粒子数目已经足够多，完全是个宏观系统了，所以在打开箱子观测前，它是死是活都是确定的，不存在处于生死叠加态的猫。

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