用大白话如何理解递归的本质 ？
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2021-07-27 01:01
先来个场景：
下班了，你带着女友去电影院看电影~（没有女友？快私信我，组里各种白富美！加班没时间？快私信我，组里加班少！）
女友问，咱两现在坐在第几排啊？电影院里面太黑了，看不清，没法数，现在你怎么办？
于是你开始展示你智慧的一面了，先问前排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。
但是，前面的人也看不清啊，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问~ 直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。
这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”，所以叫“递归”。
递归的本质：将原来的问题，转化为更小的同一问题。问题一点点变小，当问题变成最小级别之后，先解决最小级别的问题的答案，然后大一点的问题也有了答案，一点点的往上，这样原来的问题也就有了答案~
举例理解递归：数组求和
举个代码的例子理解下递归：对数组求和。
假设对 [1,2,3,4]求和，可以转化为 [2,3,4]的求和，这样问题就变得更小，直到转为空数组，空数组就是最小级别的问题，先解决最小级别的问题，然后大一点的问题也有了答案，一点点的，这样原来的问题也就有了答案~
伪代码：
=> [1,2,3,4]
=> [1,2,3,4] = 1 + [2,3,4]
=> [2,3,4] = 2 + [3,4]
=> [3,4] = 3 + [4]
=> [4] = 4 + []
=> [] = 0
=> [4] = 4 + 0
=> [3,4] = 3 + 4
=> [2,3,4] = 2 + 7
=> [1,2,3,4] = 1 + 9
=> 解决
写真实的代码：
function sum(arr) {
// 先解决最小级别的问题
if (arr.length === 0) {
return 0;
}
// 大的问题 转化为 更小的问题
return arr[0] + sum(arr.slice(1));
}
可视化递归过程
上面看完之后，可能还是有点点蒙圈，感觉似懂非懂~
没事，可视化代码运行，就明白了！可视化的过程，也是调试的技巧！
先可视化上面的数组求和：
function sum(arr, depth) {
// 递归层级越深，缩进越长。同一层级的，缩进等长
const indent = "--".repeat(depth);
// 调用开始，输出一次
console.log(`${indent}Start Call: sum of [${arr}]`);
if (arr.length === 0) {
const res = 0;
// 返回之前，输出一次
console.log(`${indent}Return: sum of [${arr}] is ${res}`);
return res;
}
let res = sum(arr.slice(1), depth + 1);
// 调用之后，输出一次
console.log(`${indent}After Call: sum of [${arr.slice(1)}],sum is ${res}`);
res = arr[0] + res;
// 返回之前，输出一次
console.log(`${indent}Return: sum of [${arr}] is ${res}`);
return res;
}
sum([1, 2, 3, 4], 0);
执行代码：
Start Call: sum of [1,2,3,4]
--Start Call: sum of [2,3,4]
----Start Call: sum of [3,4]
------Start Call: sum of [4]
--------Start Call: sum of [] // 这里是最小级别的问题
--------Return: sum of [] is 0 // 解决最小级别的问题
------After Call: sum of [],sum is 0
------Return: sum of [4] is 4
----After Call: sum of [4],sum is 4
----Return: sum of [3,4] is 7
--After Call: sum of [3,4],sum is 7
--Return: sum of [2,3,4] is 9
After Call: sum of [2,3,4],sum is 9
Return: sum of [1,2,3,4] is 10
再联系本文开头的话，“递”和“归”的过程，就能看出来了~
大问题转化为更小的同一问题，一直转化到最小级别的问题，先解决最小级别的问题，然后大一点的问题就解决了，一直到原先的问题就会被解决~
可视化代码的步骤：
先给函数加个额外的参数：递归深度，表示递归到哪了 递归深度，可以用字符串缩进可视化 调用开始的时候，打印下当前的参数（可语义下） 调用之后，打印下调用返回的结果和对应参数（可语义下） 返回结果之前，打印下返回结果和对应参数（可语义下）
怎么写递归
两步：
找到递归边界：找到最小级别的问题，并搞定答案 找到递归式：将大问题转化为更小的同一问题（假设更小的问题有了答案，只想到第一层就行）
再举个例子：
有一组数：1,1,2,3,5,8,13,21........
问第 n 个数是什么？
细细看看，其实就是斐波拉契数列，后面一个数等于前两数之和。
找到递归边界：找到最小级别的问题，并搞定答案
其实就是前两个数：
f(1) = 1;
f(2) = 1;
找到递归式：将大问题转化为更小的同一问题（假设更小的问题有了答案，只想到第一层就行）
第 n 个数就是前两数之和：
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
撸码：
function f(n) {
// 最小级别的问题，务必搞定答案
if (n === 1) return 1;
if (n === 2) return 1;
// 假设n-1和n-2都知道的话
return f(n - 1) + f(n - 2);
}
可以试试可视化过程，这里我就不演示了，当作业了~
递归的缺陷和解决方案
两个大缺陷：
堆栈溢出 重复计算度高
可以看到，递归的过程就是函数调用的过程，反复调用函数，函数调用栈会很高，一定数量级之后，会溢栈，专业名词就是堆栈溢出，表现为代码报错了！
这种缺陷的一个解决办法是：提前规定最大深度，超过深度之后直接报错。
当然这个最大深度不一定好估计。
// 全局变量，表示递归的深度。
let depth = 0;
function f(n) {
++depth；
if (depth > 1000) throw Error('递归层次超过范围了');
if(n === 1) return 1
if(n === 2) return 1
return f(n-1) + f(n-2)
}
重复计算度高怎么理解呢？
比如计算第 5 个数，等价于 f(3)+f(4)，而f(4)等价于f(3)+f(2)，注意这里的 f(3)出现了两次，这还只是计算第 5 个数，如果更大的话，会重复计算更多次！
这种缺陷的一个解决办法是：用哈希表保存已经求解过的 f(k)，调用到 f(k) 时，哈希表有则直接返回，不需要重复计算了。当然代价是，空间复杂度变高。
let resolvedList = {};
function f(n) {
if (n === 1) return 1;
if (n === 2) return 1;
// 保存过的话直接返回
if (resolvedList[n]) {
return resolvedList[n];
}
const res = f(n - 1) + f(n - 2);
// 没保存过的，保存下
resolvedList[n] = res;
return res;
}
除了堆栈溢出、重复计算度这两个大问题，时间上，过多的函数调用会积聚成一个可观的时间成本；空间上，调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，同样也会有可观的空间成本。
怎么将递归代码改写为非递归代码
递归的好处是代码简洁易理解，坏处就是上面的。能不能将其转化为非递归代码呢？答案是肯定的！递归的过程可以理解为函数调用栈的过程，我们可以手动模拟进栈出栈，也就是迭代循环！
// 数组求和：
/*
function sum(arr) {
if (arr.length === 0) return 0;
return arr[0] + sum(arr.slice(1));
}
*/
function sum(arr) {
if (n === 0) return 0;
let res = 0;
for (let i = 0; i <= arr.length; i++) {
// 手动迭代res
res = arr[i] + res;
}
}
// 斐波拉契数列：
/*
function f(n) {
if (n === 1) return 1;
if (n === 2) return 2;
return f(n - 1) + f(n - 2);
}
*/
function f(n) {
if (n === 1) return 1;
if (n === 2) return 1;
let res = 0;
let pre = 1;
let prepre = 1;
for (let i = 3; i <= n; ++i) {
// 手动迭代res
res = pre + prepre;
prepre = pre;
pre = res;
}
return res;
}
“手动”递归，并不是说没有缺点，虽然没有那么多函数调用，但是重复计算度依然很高。另外，迭代循环，对于线性结构的还好理解些，对于非线性结构的理解起来会更困难。
引用
ACM 亚洲区奖牌获得者 liuyubobobo 的玩转数据结构_5-3 前 Google 工程师王争的数据结构与算法之美_10 来源：颜酱 https://juejin.cn/post/6948718907918123044
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