数学家张益唐亲自评价关于攻克朗道西格尔零点猜想这个研究成果和意义！-技术圈

作者：张益唐，北京大学1978级数学系，北京大学闵嗣鹤数论研究中心名誉主任，北京大学客座教授，加利福尼亚大学圣巴巴拉分校教授。曾在孪生素数猜想的研究中取得里程碑式的突破进展，受邀在2014年首尔国际数学家大会上做特邀报告，获罗夫·肖克奖-数学奖、弗兰克·奈尔森·科尔数论奖、麦克阿瑟天才奖等诸多奖项！

谢谢知乎的邀请。先简单回答几个答主的问题。

关于论文里很多参数都是取 log⁡D 的固定幂次，是不是为了凑2022这个数的问题，从Landau-Siegel零点本身来讲应该是 log⁡D 的一个幂次，而他们猜想的实际上应该是负一次方，我这个方法应该能得到负几百，这个数倒不是故意凑的，但是到底几百的多少，我也没有仔细算，我能够保证的是2022正好差不多到这儿就可以了，正好今年是2022，我顺便定在这儿。经常有人干这种事情，所以这也没有什么特别含义，就像之前的7000万也是。

定理1的2022变小肯定是可以的，但是L函数导数在s=1附近的阶，目前只有平凡估计。比如说 L′(s,χ)≪(log⁡D)2 ，这个二次方目前没有办法改进，只能用这个平凡的界。不过这个对我们整个论证过程来讲，影响不是太大。

有人问到我论文中引用1975年Goldfeld用复变积分法得到的结果：如果Landau-Siegel猜想成立则可以推出 L(1,χ)≫(log⁡D)−1 ，即负一次方的下界。但如果用这个下界反推，只能给出 log⁡D 负三次方的非零区域。

是这样，一个方向能够到负一次方，另一个方向如果直接这么弄的话显得有些别扭。目前来看确实是这种情况，两边显得好像不太对称。如果就零点和 L(1,χ) 下界之间的关系做一个更新颖的探索，这是完全有可能的，这方面完全可以有一些新的东西。

关于我的论文里证明了一系列的L函数在一个离实轴较远的区域 Ω 里的零点都落在临界线（即实部为1/2的竖线）上。在知乎上，有人问到这部分的方法有没有可能被用来研究L函数在 Ω 区域之外的零点分布。

他可能觉得我这部分写得比较乱。我的 t0 是 log⁡D 的519次方。严格讲如果和D相比的话，它不算大。但是我要取成这样，比 log⁡D 大一点，比实轴高出一截。因为一到实轴上我用的L函数渐近公式就会显得很乱，因为Gamma因子包含在函数方程中，当然s在实轴上还可能会出现奇点等麻烦，所以我通过这种办法将问题避开了。

我做的大部分都是技术性的。为什么非要这么取？换一种方法取可不可以？也是完全可能的。但是你做的时候就知道只能取一个，而且希望能取一个相对简单、清楚的，至于目前的取法是否是最简单、最清楚的我也不敢说。

还有一个关于等差数列的问题，提到 Bombieri-Vinogradov定理的证明，D较小的时候是用Siegel-Walfisz定理处理，而D较大时用大筛法不等式做。知乎上还有人问如果把我的新误差代入进去，会不会把Bombieri-Vinogradov中的1/2幂次改良？

直接来讲不能改良1/2，但能把误差上界改进。Bombieri-Vinogradov定理中的误差上界是 x/(log⁡x)A 的形式。你们仔细看证明过程，其实关键的部分就是对D较小时的处理。那部分的误差项只能一个一个做、一个一个去估计。这里最大的一个障碍还是Siegel零点的问题，这导致大O上界中的常数是不能被有效计算出来的。而现在，我这个东西把这两个突破了。第一，定理里头D的范围不再是 x/(log⁡x)A 的形式了，这个范围应该是可以算出来的。第二，误差上界中的常数可以被有效计算出来了。在Bombieri-Vinogradov定理的证明里，尽管有各种各样的证明，它最后都是归结到原特征的时候，对D较大的情况，用大筛法不等式去做，出来的实际上 x1−δ 形式的项。反而在D比较小时，Siegel零点的存在性就会让误差项差这么一点。肯定谁也不喜欢用Siegel-Walfisz的方法去处理，但是没有办法。

很多人对我的经历很感兴趣，觉得我花了这么多年研究非常困难的数学问题，有没有想过放弃，是怎么坚持下来的。我也想借此机会和大家聊聊。

关于Landau-Siegel猜想，我没有想过放弃，因为这些年我的整个思考也是断断续续的。2007年我发过一篇关于Landau-Siegel的论文，其实当时是有可能继续做下去的，但是后来遇到了一个情况，就是孪生素数的问题一下变得热门了，所以2010年到2013年去做孪生素数去了，就做出来一个7000万的结果。后来想想，觉得Landau-Siegel还得做，所以就又回到这个问题上。我一般是几个问题同时在想，一段时间注重这个，一段时间注重那个，Landau-Siegel实际上上世纪末我就开始想了，我喜欢几个问题一起想，有一个问题初步想出来了，其他那些就接着想，都是比较大的问题。

前几天论文公开后，我给北大做了一场远程讲座。我在北大读研时的导师潘承彪评价：今天听了益唐讲的想法很清楚，这是一个重要的筛法新思想，有很大发展潜力，可实现起来很难。

我当即回复：听了潘老师的肯定，比听一万个人的赞扬更有价值。

今天，我又和知乎上一个关注我论文的小伙子交流，了解到他在伦敦读大一，学数学。我觉得他是非常不容易的，因为他大一已经能够学到我在研究生时候学的课程，说明他进步很快，付出了很多，确实是非常聪明的一个小伙子。希望像他一样的年轻人能发挥自己的想象力，不要把前人的东西看成至高无上的。这个东西别人这么做的我能不能换一种做法，或者我能不能突破它？不断自我提问，不断自我尝试，走出新的路子来，你们这些年轻人的前程是非常远大的。

关于我的未来，这些数学问题我是不会丢掉的。我觉得我大概这一辈子就是做数学的命了，我不做数学都不知道干什么。别人谈过有没有退休的问题，我说如果我真的离开数学了，我确实不知道我该怎么活。

平时在家里，我夫人总是觉得我一个人不太说话，吃完饭自己在房间里一待，耳机一挂自己听音乐，玩自己的。她怕我这样慢慢会神经，还开玩笑说，我老了要是神经了，她可受罪了，还得给我推轮椅。所以她每天把菜切好让我回家以后学炒菜，不管炒成什么样也要炒。周末有时候也找几个做数学的同事来家里坐坐，喝酒聊天，但他们说我聊着聊着眼光不对，就走神了。夫人经常批评我这样不礼貌，说我这样将来就没有朋友了。

我夫人觉得我浪漫的时候不多，就连去维也纳听音乐会都要跑到维也纳大学，去找哥德尔的雕像，找了半天也没找到，直到碰到一个刚下班的教授，告诉我们这里没有哥德尔的雕像才走。但是我很感谢她带我来听音乐会，因为我喜欢听交响乐，著名的古典音乐大师我都喜欢，首先是贝多芬，特别爱听他的第六交响曲。

另外我有点特别的是还喜欢勃拉姆斯，其他的像柴可夫斯基，还有肖邦的钢琴曲我也特别喜欢，尤其是他的作品53号，降A大调波罗乃兹。

其实我年轻的时候也喜欢那时候的校园歌曲，苏小明就是我那时候的“偶像”。我同学说我当年在北大宿舍里，谁提苏小明不好还跟人翻脸。前一段我和夫人去普林斯顿的时候，住在北大校友吴刚的家里，他家有卡拉OK，我们还放苏小明的歌在那儿唱，虽然可能跑调了，因为他们都笑我。

我也很喜欢中国的古典诗词，其中最欣赏杜甫的诗，比如”剑外忽传收蓟北，初闻涕泪满衣裳”。还有“却看妻子愁何在，漫卷诗书喜欲狂。白日放歌须纵酒，青春作伴好还乡。”杜甫有他自己的奔放，“即从巴峡穿巫峡，便下襄阳向洛阳。”百读不厌，怎么品这个味道都觉得特别好。杜甫的诗太多了，“风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。”还有下面两句我也特别喜欢，“万里悲秋常作客，百年多病独登台。”对仗对得非常好，而且很自然，流传了一千多年，让后人一个字一个字地去品它的味道。

几年前，有位导演找到我说，想把我的故事拍成电影，就像纳什的《A Beautiful Mind》。我是不希望拍，毕竟网络已经把我说得够多了，我希望最好不要再给我干扰。纳什是一个伟大的数学家，他在数学等好几个领域里都有独特的贡献，这部电影拍得非常好。中文翻译成“美丽心灵”，我遇到很多年轻的中国留学生，他们都看过。

我现在也会帮我的小孙女讲讲数学。她上二年级的时候就特别喜欢数学，还报了一个电脑编程班。那个班里都是高中生，她是最小的，那时候连乘法都不会，后来我帮她补了补。现在9岁了，也一直跟着上到四年级了，学校给她选到数学天才班里了。她很有天赋，说爷爷我要完成你的心愿，替你得菲尔茨奖。其实对这个奖我也没什么遗憾，我没有把这些东西看得太重。

九年前，我第一次访问普林斯顿，有人问我有哪一句诗能概括你当时的心情。我引用了杜甫五首咏怀古迹里的第一首的最后两句：“庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”。

今天还是这句。