八十九、动态规划系列背包问题之完全背包

「@Author：Runsen」

动态规划需要搞定三个系列：三个背包，零钱问题和股票问题。今天就开始干掉三个背包问题。

三个背包问题：01背包，多重背包，完全背包。上次搞定了01背包，那么继续学习完全背包。

我们有种物品，物品的重量为，价格为。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的，背包所能承受的最大重量W，每种物品都有无限件可用，则该问题成为完全背包问题 。

题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/3/

先上代码，和01背包问题的解法有略微的改动，区别在于「遍历体积时从逆序改为顺序」，就只有这一个不同，在上一篇博客中有关于01背包问题的理解。

# 代码基本一样
n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
dp = [0 for i in range(v+1)]
for i in range(n):
    for j in range(v+1): # 从前往后
        if j >= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]]+goods[i][1])
print(dp[-1])

# 测试代码
5 10
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
20

下面是有关完全背包的题目

Leetcode 279. 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9

首先，明确dp，然后找dp的转移方程。

这里，dp[i]：表示完全平方数和为i的 最小个数。这个是没有任何问题的，关键是dp的转移方程。

对于Runsen这个菜鸟来说，也很快指的这是转移方程，就是i减去k 加上1。本质上就是斐波那契数列的一个变形。

「问题就转为了求n的最大平方和的序列。」

i = 1
nums = []
while i*i <= n:
 nums.append(i*i)
 i = i + 1

然后就是完全背包的反例的问题了。那么这个动态规划的问题基本解决了。

n = int(input())
i = 1
nums = []
while i*i <= n:
    nums.append(i*i)
    i = i + 1
print(nums)
# dp = [0] * (n+1) 是求最大值，[float('inf')] * (n+1)求最小值
# 如果写成 dp = [0] * (n+1) ，那么永远0最小
dp = [float('inf')] * (n+1)
dp[0] = 0
for i in range(1,n+1):
    # j 是平方数
    for j in nums:
        if i<j:
            break
        dp[i] = min(dp[i], dp[i - j] + 1)
print(dp[-1])

下面代码来源官方的动态规划，和Runsen的基本一样。

import math
def numSquares(n):
    """
    :type n: int
    :rtype: int
    """
    square_nums = [i ** 2 for i in range(0, int(math.sqrt(n)) + 1)]
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    # bottom case
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        for square in square_nums:
            if i < square:
                break
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - square] + 1)
    return dp[-1]

顺便补充一下：「四平方定理」：任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。推论：满足四数平方和定理的数n（四个整数的情况），必定满足

这个自己是不知道的，大家想深入：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/wan-quan-ping-fang-shu-by-leetcode/

下面是四平方定理的代码

def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        while n % 4 == 0: 
            n /= 4 
        if n % 8 == 7: 
            return 4 
        a = 0 
        while a**2 <= n: 
            b = int((n - a**2)**0.5) 
            if a**2 + b**2 == n: 
                return (not not a) + (not not b) 
            a += 1 
        return 3

Leetcode 300 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出: 4 解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

对于Runsen这个菜鸟来说，关键还是怎么找出dp和转移方程，dp[i]是第i个最长上升子序列。那么

Leetcode 322  零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11 输出: 3 解释: 11 = 5 + 5 + 1 示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3 输出: -1

「零钱兑换实际上就是完全背包的题目，也可以看作下楼梯的问题的变种」

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # 第一步：定义dp数组或变量，首先明确题目说每种硬币的数量是无限的，但是会给定一个固定的 amount 金额，我们需要用最少的硬币数凑出这个金额，如果是01背包问题就是[0]开始；
        # 因此这个是一个完全背包的题目，还是下楼梯的问题的变种。完全背包求最小，那么初始就要时最大
        dp = [float('inf')] * (amount + 1)
        # 计算的起点 0 块钱当然是 0
        dp[0] = 0
        # 状态转移方程：f(11) = min(f(10),f(9),f(6)) + 1  
        for i in range(amount + 1):
            for j in coins:
                if i-j >=0 :
                    dp[i] = min(dp[i],dp[i-j] + 1 )
        if dp[amount] > amount:
            # 如果dp[amount]  是amount + 1 ，说明了没有匹配的方式
            return -1
        return dp[-1]

「至此完全背包就到这里结束了，完全背包注意dp的定义，求最大还是最小，完全背包的关键词就次数是无限的」