为了让你写对“二分查找”，我作了首诗
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2021-09-27 21:22
作者：labuladong 公众号：labuladong
大家好，欢迎来到 Crossin的编程教室 ！
先给大家讲个笑话乐呵一下：
有一天阿东到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把阿东拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。
……
从此，图书馆丢了 N - 1 本书。
二分查找不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给mid加一还是减一，while 里到底用<=还是<。
你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存：
你等会看完本文再回来读读，就有味道了。
本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。
以问答的形式，分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。
（注：本文演示代码为C++，但作为算法讲解来说，几乎不影响Python学习者的阅读。如对其中语法有疑问，可在留言中提出）
零、二分查找框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。
其中...标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中left + (right - left) / 2就和(left + right) / 2的结果相同，但是有效防止了left和right太大直接相加导致溢出。
一、寻找一个数（基本的二分搜索）
这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
1、为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 <？
答：因为初始化right的赋值是nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间[left, right]，后者相当于左闭右开区间[left, right)，因为索引大小为nums.length是越界的。
我们这个算法中使用的是前者[left, right]两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right)的终止条件是left == right + 1，写成区间的形式就是[right + 1, right]，或者带个具体的数字进去[3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。
while(left < right)的终止条件是left == right，写成区间的形式就是[left, right]，或者带个具体的数字进去[2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间[2, 2]被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。
当然，如果你非要用while(left < right)也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
//...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
2、为什么left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是right = mid或者left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left, right]。那么当我们发现索引mid不是要找的target时，下一步应该去搜索哪里呢？
当然是去搜索[left, mid-1]或者[mid+1, right]对不对？因为mid已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
3、此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组nums = [1,2,2,2,3]，target为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到target的左侧边界，即索引 1，或者我想得到target的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
二、寻找左侧边界的二分搜索
以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
1、为什么 while 中是<而不是<=?
答：用相同的方法分析，因为right = nums.length而不是nums.length - 1。因此每次循环的「搜索区间」是[left, right)左闭右开。
while(left < right)终止的条件是left == right，此时搜索区间[left, left)为空，所以可以正确终止。
PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的right不是nums.length - 1吗，为啥这里非要写成nums.length使得「搜索区间」变成左闭右开呢？
因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后看到这类代码可以理解。其实你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。
2、为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组nums = [2,3,5,7],target = 1，算法会返回 0，含义是：nums中小于 1 的元素有 0 个。
再比如说nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即left变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
while (left < right) {
//...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
3、为什么left = mid + 1，right = mid？和之前的算法不一样？
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是[left, right)左闭右开，所以当nums[mid]被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉mid分割成两个区间，即[left, mid)或[mid + 1, right)。
4、为什么该算法能够搜索左侧边界？
答：关键在于对于nums[mid] == target这种情况的处理：
if (nums[mid] == target)
right = mid;
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界right，在区间[left, mid)中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
5、为什么返回left而不是right？
答：都是一样的，因为 while 终止的条件是left == right。
6、能不能想办法把right变成nums.length - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。
答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：
因为你非要让搜索区间两端都闭，所以right应该初始化为nums.length - 1，while 的终止条件应该是left == right + 1，也就是其中应该用<=：
int left_bound(int[] nums, int target) {
// 搜索区间为 [left, right]
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
// if else ...
}
因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以left和right的更新逻辑如下：
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
由于 while 的退出条件是left == right + 1，所以当target比nums中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：
因此，最后返回结果的代码应该检查越界情况：
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
至此，整个算法就写完了，完整代码如下：
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
// 搜索区间为 [left, right]
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
// 搜索区间变为 [mid+1, right]
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
// 搜索区间变为 [left, mid-1]
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 收缩右侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 检查出界情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是left变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。
三、寻找右侧边界的二分查找
类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
1、为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
当nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
2、为什么最后返回left - 1而不像左侧边界的函数，返回left？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回right才对。
答：首先，while 循环的终止条件是left == right，所以left和right是一样的，你非要体现右侧的特点，返回right - 1好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 这样想: mid = left - 1
因为我们对left的更新必须是left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left]一定不等于target了，而nums[left-1]可能是target。
至于为什么left的更新必须是left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
3、为什么没有返回 -1 的操作？如果nums中不存在target这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是left == right，就是说left的取值范围是[0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
4、是否也可以把这个算法的「搜索区间」也统一成两端都闭的形式呢？这样这三个写法就完全统一了，以后就可以闭着眼睛写出来了。
答：当然可以，类似搜索左侧边界的统一写法，其实只要改两个地方就行了：
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 这里改成收缩左侧边界即可
left = mid + 1;
}
}
// 这里改为检查 right 越界的情况，见下图
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
当target比所有元素都小时，right会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：
至此，搜索右侧边界的二分查找的两种写法也完成了，其实将「搜索区间」统一成两端都闭反而更容易记忆，你说是吧？
四、逻辑统一
来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right]
所以决定了 while (left <= right)
同时也决定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因为我们只需找到一个 target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的「搜索区间」是 [left, right)
所以决定了 while (left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right，必须减一
对于寻找左右边界的二分搜索，常见的手法是使用左闭右开的「搜索区间」，我们还根据逻辑将「搜索区间」全都统一成了两端都闭，便于记忆，只要修改两处即可变化出三种写法：
int binary_search(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while(left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if(nums[mid] == target) {
// 直接返回
return mid;
}
}
// 直接返回
return -1;
}
int left_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定左侧边界
right = mid - 1;
}
}
// 最后要检查 left 越界的情况
if (left >= nums.length || nums[left] != target)
return -1;
return left;
}
int right_bound(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else if (nums[mid] == target) {
// 别返回，锁定右侧边界
left = mid + 1;
}
}
// 最后要检查 right 越界的情况
if (right < 0 || nums[right] != target)
return -1;
return right;
}
如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。
通过本文，你学会了：
1、分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 else if 方便理解。
2、注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
3、如需定义左闭右开的「搜索区间」搜索左右边界，只要在nums[mid] == target时做修改即可，搜索右侧时需要减一。
4、如果将「搜索区间」全都统一成两端都闭，好记，只要稍改nums[mid] == target条件处的代码和返回的逻辑即可，推荐拿小本本记下，作为二分搜索模板。
现在可以去把我做的诗多读几遍，体会体会其中的味道，加深理解，哈哈哈！
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