PowerBI 全网首发原生平滑曲线 - 原理及实现
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2021-01-29 12:44
仅以本文致敬本科的数学老师们，终于用上了一招。
大家都知道，Power BI 的折线图并没有平滑的曲线，这在很多时候非常不方便。
本文来探讨 Power BI 中原生平滑曲线的实现。这要借助一些成熟的数学算法，我们并不打算研究这些数学算法的具体细节，而是仅仅给出 DAX 实现以及对比。
效果
假设先有一个折线如下：
该折线的问题就是看着太生硬，我们希望它可以更加平滑。得到如下效果：
对于生硬的红色折线，我们希望它可以变得平滑，如蓝线所示。
那么问题来了：
如何从红色折线得到蓝色光滑曲线
如何确保蓝色线是连续光滑的
如何确保蓝色线的生成方式是通用的
为此，我们需要研究从独立散点到形成光滑曲线的方法。
插值算法
我们研究了数学中的几种插值算法，所谓插值，顾名思义，就是在已知的的点之间，插入一些新的值，在连线后，形成整条曲线。我们希望这条曲线满足：
连续性
最速接近
高性能
我们考察了数学中的几种算法，如下：
其中，紫色的 Cubic.Pro 和粉色的 Hermite 是重合的。
可以看出：粉色线是同时满足三个条件的最佳算法。
算法实现
由于 Cubic.Pro 和 Hermite 算法默认重合，这里仅仅使用 Cubic.Pro 算法。
对于某个维度 X ，其每个点可由度量值计算出相应的值。
所谓插值，就是将维度 X 的每两个点之间插入新的节点，可以插入 1 ~ 1000 个点都可以。
而不难猜测，插入的点越多，越平滑，但计算量也越大。
例如：
插入 3 个点时：
很明显，在弯折处是不够光滑的。
插入 10 个点时：
已经很光滑，但在细节处，我们放大看：
还是不够光滑。
插入 20 个点时：
此时已经非常光滑。
这样，我们就得到了从点图（折线图）到完美的光滑曲线的最佳实践，为：
采用 Cubic.Pro 插值算法
将原来的两个点中插入 20 个点进行插值计算
满足连续性以及光滑
性能没有问题
DAX实现
第一步，对已有坐标轴进行扩展，如下：
Axis.Ex =
VAR _n = 20 // 用于区间内分割的点数
RETURN
FILTER(
GENERATEALL(
VALUES( 'Axis.X'[X] ) ,
SELECTCOLUMNS( GENERATESERIES( 0 , _n - 1 ) , "X'" , [X] + [Value] / _n )
),
[X'] <= MAX( 'Axis.X'[X] ) // 去除超过原区间大小的点
)第二步，实现 Cubic.Pro 插值算法，如下：
Axis.Y.Smooth.Cubic.Pro =
VAR _y_min = CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { MIN( 'Axis.X'[X] ) } , 'Axis.X'[X] ) )
VAR _y_max = CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { MAX( 'Axis.X'[X] ) } , 'Axis.X'[X] ) )
VAR _y0 = COALESCE( CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { VALUES( 'Axis.Ex'[X] ) - 1 } , 'Axis.X'[X] ) ) , _y_min )
VAR _y1 = CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { VALUES( 'Axis.Ex'[X] ) + 0 } , 'Axis.X'[X] ) )
VAR _y2 = CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { VALUES( 'Axis.Ex'[X] ) + 1 } , 'Axis.X'[X] ) )
VAR _y3 = COALESCE( CALCULATE( [Axis.Y.Sample] , TREATAS( { VALUES( 'Axis.Ex'[X] ) + 2 } , 'Axis.X'[X] ) ) , _y_max )
VAR _dx = SELECTEDVALUE( 'Axis.Ex'[X'] ) - SELECTEDVALUE( 'Axis.Ex'[X] )
RETURN
VAR _u1 = _dx
VAR _u2 = _dx * _dx
VAR _a0 = -0.5 * _y0 + 1.5 * _y1 - 1.5 * _y2 + 0.5 * _y3
VAR _a1 = _y0 - 2.5 * _y1 + 2 * _y2 - 0.5 * _y3
VAR _a2 = -0.5 * _y0 + 0.5 * _y2
VAR _a3 = _y1
RETURN _a0 * _u1 * _u2 + _a1 * _u2 + _a2 * _u1 + _a3其中，
'Axis.X'[X] 为原有维度坐标轴
[Axis.Y.Sample] 为默认度量值
不要问这个算法的具体细节是什么意思，它需要应用数学专业大二水准，这就是数学的用处。只需要记住这么用就行。
来对比下不同版本的 DAX 实现效果，如下：
我们选择了 Cubic.Pro 算法以及 DAX 实现，并完美的解决了利用 Power BI 原生折线生成光滑曲线的问题。
总结
虽然我们完美地实现了 Power BI 的光滑曲线，但：
有人会说，他 3 秒就可以在 Excel 里实现。
那么，他很厉害，他会用 Excel 点按钮。
的确，Power BI 是不完美的，我们仅仅是在 Power BI 还不够完美的过程中在用自己的方式来弥补 Power BI 的缺陷，这个弥补的过程看似非常愚蠢，非常无意义，但反而体现了我们在选择一件工具最核心能力后的妥协和折衷。
如果这个世界存在完美，并让人可以 3 秒爽，那么，是不是有点快得没有意思了？
对于欠缺举一反三能力的伙伴会问以下两个问题：
我的坐标轴不是 1，2，3 啊，而是产品，或日期，或用户，如何做成平滑曲线呢？
如果元素非常多，例如，365 个日期，插值后会形成 3650 个点，运算量提升 20 倍，会不会有问题呢？
这个问题留作思考题。我们会在下篇文章来分享这两个问题的优化方法。
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