数学思想的几个进化阶段

数学是一切自然科学的重要基础，而数学的发展本身又表现出与其他自然学科极大的个性，传统自然学科带有显著的固然性和机械性，而数学本身则不仅带有极强的自明性和客观性，而且随其发展还逐渐衍生出自为性。数学方法于自然科学及数学本身之重要性已无须过多赘言，理解数学思想发展的几个进化阶段，是获取数学方法思维自由度的根本。

首先数学被视作关系机械系统，即此时的数学以客观世界抽象所得之机械几何公理、代数数值运算公理系统为其绝对前提和判决标准。代数数值运算公理是自然计算所产生的，机械几何公理系统的生成过程则是漫长而复杂的，早期的机械几何公理其实不成体系，只是一些人们在生产实践过程中在直观上形成了一些极其熟悉的基本数学元素和概念，例如直线、平面角，这些要素在应用几何学的发展过程中始终都作为一种基础要素存在。仅就欧几里德几何体系的公理部分而言，与其说其为一种严密逻辑根源的总结，毋宁说是一种“从最简约的基本概念出发”的一种朴素试探的结果。

作为有史以来最漫长的数学发展阶段，数学关系机械系统阶段不是简单一贯的，而是在漫长的简单一贯以后逐渐地随物理、化学、系统科学等其他学科之发展俱进。几乎可以确定地说，无论是否认可欧几里德实有其人，几何原本的归纳方法几乎是可以确认的——首先，按照几何对象的复杂度进行分类，依从点、线、面、体的基本顺序对各类命题进行自下而上的金字塔层次划分，对每一类定理的每一定理假设其成立，然后以此为起点，结合其基层的定理得到另外一些同层定理或上层定理，由此逐层遍历，直到已知的所有命题，挑选其中完整覆盖全部命题节点、且原因命题节点最少（即针对任意目标命题，以最简约的原始命题即推得目标命题的逻辑路径，才能被认为是逻辑体系的路径；其余路径皆可认为有所冗余）的一颗逻辑树（生成的逻辑树方案很可能不止一种），作为几何原本最终的逻辑体系。

古代西方利用几何模型解方程的思想带有显著的数学机械化特色，尽管这种解方程的方法带有狭隘性（无法表达负根），但就其解决问题的思路本身而言极具价值——对构造的艺术启发意义尤大。这种方法的最大价值在于为计算机模拟数学过程提供了思想依据——仿真运动过程的误差趋于0的过程中，机械即可与数理良好吻合。

由此可见，数学机械化的中心任务是首先完整地认识数学规律的外围，从而机械物理方法在数学关系机械系统的探索中其实具备重要的意义。也就是说，

（1）如果能够用机械直观方法确定出数学问题的解决方案轮廓，那么任意的单个数学问题的求解可以有望自外而内地被总结为一种方法程序。即根据数学问题本身的关系几何特征，沿着“已知信息—问题”和“问题信息需求——条件”2个角度设计一种逻辑路径（这种逻辑路径实际上不应被狭隘地视为问题本身解决的途径，而应该被视为与问题同体的一个数学系统的其余局部），这种关系的撮合是隐晦的（应该承认，关系撮合思想首先源于直观心理上的方案列举和前向试探，但归根结底地说，证明方向的思维调整的选项来源于关系模式的构造想象，构造设计的思维调整的选项则来源于要素关系协调推演逻辑），但绝非神秘而不可知。

（2）在遵循“可完整构造”的原则前提下，数学系统的观察是任意角度的，即数学系统，包括数学系统分析过程中的中间产物均可以以任意方式进行重构和解析——其逻辑依据是：任意产物只要是逻辑自洽的系统，则可以采用任意角度对其进行重构。在分析的过程中，初始的构造方案并不见得从一而终，只要是稳定的中间产物，就可以对其重新构造；或者在原有的构造动态上介入新的运动理解，主要这种运动本身是自洽的。

（3）“误差”的反演启发意义：机械物理方法应用于数学中的一个极大的困惑是误差问题。数学问题的处理是无差的，而机械物理方法的视角往往带有明显的误差。要顺利地消除这个障碍，必须将有差、无差两种情景连贯起来，即将无差视作有差的极限，如此则误差可以予构造以启发式反馈。

误差是数学分析的启蒙，研究误差的运动规律实际上是对原数学问题解析方式的一种重要提示。从理论上讲，代数对象可以采取任意的方式进行解析，而但凡具备通式的无穷级数展开实际上是一种可循环迭代的误差，换言之，如果能够证明“函数-无穷级数部分和“所构成之差能够小于任意正数，即无穷级数展开即告成立。

值得注意的是，在本阶段的数学研究过程中，数学家的自我确认感完全来自于

（1）数形结合的视觉心理

（2）有限步骤的逻辑推导

（3）基于递推的数学归纳法

而研究的自由度则完全来自于对机械数学系统判据的先验完备性的绝对信赖——也就是说，先验地认为机械数学判据足以判决一切真伪（即绝对的自明性），是本阶段数学推演的根本依据。那么任意自定义的概念都可以找到判断真伪的可靠依据，而任意问题均可通过附加条件信息而得以分割，只要有限的分割能够得到全面的讨论，则问题总能够有望被搞清楚。

克莱因说过：数学问题的困难根本在于观点水平的高低。在低观点下困难的问题往往在高观点下就变得容易解决了。关系机械阶段的数学表现出显著的“一题一法”的特征，也就是说，关系机械阶段的数学实际上是“分析—综合”的思维，将一切综合体都视作基本要素组合的相互作用结果。这种思维观点存在很大的局限性，一般说来主要有2个方面的问题：

（1）缺乏整体的观念：这种整体观念的缺失所带来的最直接后果是代数问题和几何问题的分裂，尽管古代西方已经出现了用几何模型求解方程的做法，但实际上并未有任何证据证明代数、几何已经获得了本体层面的统一。笛卡尔直角坐标系的伟大之处在于确立了函数空间的概念，将任意的曲线视作一种函数，既是几何的伟大进步，更是代数的伟大进步。对几何的意义在于找到了一种精细化解析的等价表达方式。对代数的意义在于最先并深刻揭示了代数关系源于“空间”这一内涵本体。

（2）关系本体的单调性：在机械观点下的数学，由于将要素完全视作是相互独立的，因此对要素之间的关系看待在广度和深度方面往往具有很大的局限性。而要真正地提高对问题的观点水平，则必须延拓原始思维的广度和深度，这个新的理论观点必须立足于更抽象的思维视角，而这样的思维视角无疑依赖于更广义的数学本体内涵，在这个理论的构建过程中，首先需要抽象出更简洁的表达形式。

这个阶段的重要历程重要归纳为“几何物理关系提炼——>代数特征提取——>代数表达归纳——>分析概念及定义抽象——>分析基础严格化——>基于同构类比的数理规律推广  [类比的依据实际上是同构，数理逻辑所以能够推广，是由于代数结构的同构性，而所谓类比，实际上是必须满足代数要素相对关系类同的相对性原理]   ”，值得注意的是，这个阶段是数学观念转型的重要过渡阶段。在这个阶段中，数学的研究对象逐渐脱离了具体的几何形体而走向一种普遍数理规律，实际上是数学机械外壳对数学本质狭义内涵形态的归宿过程。

同时，这个阶段还萌发了数学的对称性抽象演化，即“综合—分析”的数学体系。以笛卡尔的坐标系思想为启蒙，解方程群论发展中数学逐渐体现出来的“体”属性——即数学对象是一个整体，其中的局部皆是整体之衍生。公理则是这种整体之原始内涵本体。这种自综合而分析的思维视角实际上颠覆了欧氏几何从分析到综合的思维角度，由此而往，数学开始初步展现了它的兼容度和自由度，这种自由度的重要开端是非欧几何和黎曼几何的出现。数学的研究视角从传统的实体对象和欧氏几何对象扩展到纯粹空间对象。当中的演化历程大体可描述为“空间本体对象的变换  [从欧式公理假设转向罗氏公理假设，从以点运动为基本立足的空间视角转换到以维度立足的空间视角]   ”——>“维度扩展与变换  [维度的扩张实际上是对几何本体规律提取的必由之路，也是彻底转向空间整体为中心的空间观念视角的必经环节]   ”——>“空间概念的变化   [

从坐标系下的度量空间转转化为脱离了坐标系的内蕴空间，这种转化过程是自然的，并非是一厢情愿地“为赋新词强说愁”要脱离欧氏空间，而是一种空间本体观念变换后的自然产物。即空间之一切属性当由空间的本体来决定。

]   ”。逻辑系统构造的自由度开始显现。

数学进化的重要里程碑在于数学正式成为一种自然语言系统，这个阶段最令人困惑的问题莫过于“何以数学能够成为一种自然语言？”或者说，数学获得其成为一种自然语言的存在形式的依据究竟是什么？人们观念中的数学已然进化为一种自在的逻辑体系。成为一种自然语言绝不意味着数学的规律是任意的，而是数学对象的构造获得了极大的自由空间而可以近乎于任意的，产生这种观念的直接诱因是分析基础严格化促进下实数理论的发展，数学家将实数归结为全部几何属性的真正来源。数学之全部属性由此完全脱离了几何物理的形态，而实数本身的自在规律性尤其是质数的神秘性诱发了这种思想。从实数规律出发和从几何拓扑的整体性出发实际上构成了数学的自在性。也就是说，数学被回归到只以实数为基础的形态，数值关系全部来源于实数系，则数学就获得了与实数系同等的存在方式属性——自在逻辑。

康托尔的集合论是数学进入纯粹逻辑阶段的起端。此阶段之最大背景诱因在于数学发展从传统的几何、物理、代数问题转入完成广义的函数逻辑基础和泛函理论基础的构建任务之中。此时，数学已经进入了一种极大的争议之中，以至于后来分裂为三大主义学派（直觉主义、逻辑主义、形式主义）。关于无穷大的争议以及罗素悖论本身是本阶段两大重要的里程碑。

  实无穷存在性和相容性的争议实际上是一场观念心理之争

“有限”、“有穷”的区别是明显的，对“有限”的心理认知一般是“确知其边界位置”—>“确知其边界位置范围”—>“确知其边界位置范围的可确性”——>“确知其边界位置范围可确方案的存在性”。对“有穷”的心理认知一般是“可穷可数的  [即具备最小基本元的离散可数]   ”——>“量度可数的  [具备有限可数测度单位的有穷]   ”——>“量度收敛的”——>“量度收敛可证明的”，

“无限”与“无穷”的区别则不那么明显，无限的心理认知本征是“可确知其持续增长趋势，但无法确知其全向边界位置   [注意：是“全向”边界位置，即运动的全部方向范围，如果是无穷维的运动，如果其全部方向的边界位置均可确知，则只能说“无穷”而难以论为“无限”

]   ”，对“无穷”的心理认知本征则是“无休止”，持“潜无穷”观念的一派的理据如下：

将“无穷”概念的对象锁定为“序列之最终元素”——>“无穷无以确指”——> “其数理属性也不尽稳定”——> “无穷是对象不断延展的过程，人们习惯上只是以这一称谓指代这一过程”（高斯语）——>“无穷不足以成为一个实指对象”，上述的思想实际上是建立在讲无穷置于“静态平衡系统”的判决标准视角下来看待的基础上的。

在康托尔看来则不然，在康托尔的眼中，“体”的根本属性和存在所需之唯一依据即是逻辑的相容性，也就是说，无穷本身并不是一个孤立点值，而是包括有穷以来在内的全部延展性（即一个集合），即无穷被视为“动态平衡体”，“体”的存在恰恰源于其延展性，但这种延展性并不如传统上认为的是一种不可确的机械运动，而是一种可确的迭代循环之中，这种迭代循环的可确性应该来自于这样一种思想——“一切延展性本质上都是构造的作用；任何构造均无外乎一种循环机制的选择性作用  [这里所谓的循环不是指直接表面上的数值循环特征，而是指源于实数本身的循环性，构造不可能在实数以外取得指]   ；”，也就是说，无穷之所以称为实无穷，其根本依据是由于其有可确的序循环机制。一切循环机制都是以一一对应作为其本征的，由此，无穷的基本外在特征就是一一对应。由此而观，则任意阶的无穷实际上是由这种序循环机制的作用密度差异所导致的。换言之，有穷与无穷之统一，在传统上认为是对象延展度的差异；而在康托尔则认为是序循环机制的作用密度差异。但无论序循环机制作用密度（即无穷的阶）如何，无穷作为一个“体”，其在逻辑上的实体存在性是毋庸置疑的。值得注意的是，这里所说的实体存在性是“逻辑上的”，这与实际上的直观印象似乎是不能相容的，这也是何以后来数学分裂为三大主义学派的重要原因。比照独角兽的例子（独角兽在逻辑上其实可以存在，但在实际生物对象范畴内并不存在），我们的解释可以是这样的，所谓“存在”是统一的，统一的根源在于空间对象逻辑的相容性。在忽略绝对时间可达性的逻辑空间内，传统的实体空间都是以时间来作为量度的基础的，时间不可达导致了我们认为“无穷”等同于“无休止延展”，而时间的可达  [这里所说的时间，是直线向前发展的绝对时间，实际上，用空间状态量度的时间是弯曲的，是一种空间状态组合的循环序列，但由于循环节非常长而显示出了直线特性。如果以实际时间为参照，则在实际时间范围内的任意长时间均可用时刻片段序列进行，即时间是绝对可数的，无穷对象的可达性本身就足以构成问题，很可能无穷永远不可达，而只能呈现出以某种有穷增量的循环式迭代]  性在本质上取决于“可穷性”，但如果我们并不以时间作为绝对的参照系，即我们并不立足于时间为中心来观察无穷，而是以纯粹的集合序列结构为中心来观察无穷，则无穷是否作为实体存在完全可以无须以“其终点是否可达”（等价的描述即延展是否收敛）或“终点是否可确”（等价的描述即范围是否可确）作为判定依据，从而完全可以获得作为实体存在的心理直观。

传统上的数值运算之基本量必须为属性量值，而既然量值也是循环机制作用下的特例（即一个只含1个数的集合循环得到自己），也就是说，康托尔眼中的运算法则实际上完全是一种序映射机制而并非实体运算，因此无穷自然也可以参与任意的运算，只是无穷符号∞并不代表一个一致的对象，而只是一个类表达，无穷与自身的任意计算实际上都是无穷集合自身全体元素与自身运算的结果，即原始无穷集合到另一个无穷集合的序映射。

其次，数学进一步进化为研究逻辑规律本身的学科，换言之，逻辑本身也是上帝设计的对象，既然如此，那么和其他形而下的对象一样，逻辑本身一定具有上帝心思的支配，为什么逻辑本身就不能像物理系统的组合一样被任意地剪裁和拼凑呢？如果上帝的心思是自洽的，那么有理由相信，总是存在一种公理假设可以良好地、尽可能多地归纳当前所有的经验，而事实上任意的假设和组合便总能如物理系统一样产生其自然的结果（包括矛盾本身）。

逻辑之逻辑必须重新依赖于针对逻辑本身的形式化规则，这就需要对逻辑本身进行形式化运算规则的定义，莱布尼兹曾提出构建一种自明逻辑系统的构想的伟大构想，人们在出现争议时仅需通过推演即可得到真确的答案，罗素悖论实际上是这一工作的真正肇始。由此，康托尔的朴素集合公理体系缺陷才得以修正。由此，函数逻辑、集合逻辑本身的运算获得了与传统代数系统、几何系统的同态特征。也就是说，逻辑本身也需要严格化过程。此间产生了三大主义学派，有必要对其观念心理进行一一剖析，以识别三者的内在关系。

[1]逻辑主义：该主义的最大贡献应该是对形式逻辑规则系统的构建，

[2]形式主义：

[3]直觉主义：

传统上认为，计算机程序是对数学设计方案的执行。而一旦数学的求解可以找到相对固定的模式，则采用计算机程序来进行方案路径搜索的可能性就具备了。

以几何证明为例，要搜索一种添加辅助线的合理方案，则需要搜索一种匹配的撮合方案，这种方案一味依靠人力，其效率并无保障，且证明的方案往往缺乏普遍性。物元分析方法其实是揭示这种探索思维极好的工具。素数定理的计算匹配同样是极其繁重的工作，利用计算机可以大大减轻数学家的工作负担。

数学研究传统上存在两个问题：

（1）出现了什么问题？问题的解法是什么？

（2）问题的解法是怎么被想到的？

传统上，前者以问题为中心，采取建构主义的思想进行推演和敷衍。而后者涉及的探讨相对较少，由于问题本身的发散性，讨论书籍也大多停留在策略层面，难以结合具体问题，具体的心理逻辑剖析逻辑推演的路径过程，从而给出一些基于类比和识别归纳心理的探索思维规律启发。如果以思想为中心，则建构主义本身尚不足以，必须赖以解构主义的思想进行阐释。

问题解法的思路反演需要贯以一种“自然”的原则引导，即“一切思维都是直观嵌套作用下的函数”，也就是说

（1）直观思维不是简单的直觉思维，而是直觉引导下的辩证思维，其根本的依据是同一律、排中律和矛盾律。

（2）直观思维具备有限的动作序列，在遭遇属性匹配信息不足的情况下，直观思维有逐级回退机制，即退回到原来的前提假设上进行重定向，重定向机制的方式也是有限可数的，一般为局部微调（认为当前的不足是由于假设的不合理设置造成的，微调的导向是当前不匹配的位置）、规避（认为当前的不足是假设的固有缺陷，自该假设位置开始彻底改变逻辑方法策略），定点深化突破（认为当前的不足是由于假设本身的信息透明度不够，突破的方向是寻求更简约、更直接的等价信息或必要特征信息）

（3）广域高观点的归纳和抽象实际上是直观思维调整机制的方式特例，这种思想实际上往往对应上述的“定点深化突破”，要产生广域高观点的重要要素如下：

[1]推广的领域：一般而言，直接推广往往对应着维数的增加，而抽象提炼则对应着新概念系统的提出。

[2]提炼的技术：即如何确立广域规律与狭域规律之间的桥梁。一般来说，狭域是广域的特例，但之要将其所以推广到广域当中，必然是带有抽象信息增量的期望的。这其中的自由度是“在数学分析中，任意的数学对象均可放在一起相互作用以作探究；任意的复杂数学对象均可试图将其化解为基本函数系的线性组合进行研究”（这颇有化学反应设计中药品自由组合的味道）。所谓“算子”思想，实际上是将利用广域的数值特性将低领域的关系简约化，然后再反演出低领域的问题结果。

传统上认为数学的研究是精确无误的，事实上，无论数学的定义还是定理，数学公式的总结，重要数学概念的提出都要经历较为漫长的过程（尽管由于理论工具的成熟，这个周期日趋短暂，但事实上并不为0，正如无穷小趋于0而不为0一样），数学模型的创建、构造往往首先需要朴素的撮合和直观的想象，即数学的研究必须首先兼容优化的过程。

在生成一个新概念或定义的逐次逼近的过程中，首先而较为直观的办法就是列举，这是创建和构造初级阶段所需的最基本方法；其次则为条件共性的提炼，定义、概念对于所列举的全部分类的共性信息的提炼、归纳、抽象；其次则为附加条件的简约化，最后是结论的兼容扩展和边界确定。

东方数学之所以沿袭了与西方完全不同的发展路径，从根本上讲是思维类型不同所致。体味不同的思维类型，对于变换思维方式，塑造思维心理素质具有重要的启示意义。传统上认为，东方数学思维是算术思维类型，重在离散性；西方数学思维是几何思维类型，强调连续性。这种思维类型断然不会是无中生有，而只能是民族生产生活历史发展过程中的自然产物。换言之，这种思维类型绝不可能是数学发展的孤立产物，而一定在其他的方面尤其是民族通用常识方面有所体现。

以英语的语法逻辑为例，句法描述顺序从中心到外围（如疑问句：what can we do? How are you get along withyour study?）、从虚指到实指（it’s difficult to do……）、构词方式则与汉语造字思维雷同，以现象表达借代概括涉及此现象为其主体特征之基本义（如take原义为取、拿、携，进而演化并获得“进入……状态”的含义），复以一固定词缀合于基本义词之前后（如re-search，ex-change）。由此可见，英语之语法逻辑于几何思维心理模式有相通之处。也就是说，几何思维心理实际上是一种针对对象特征组合的观察、识别、搭配、搜索、匹配、调整的方法心理。也就是说，从某种意义上讲，几何心理是针对一个事物对象，旨在确定的某种目的，在既定的某种观察角度下的一种系统要素匹配组合方案设计心理。

河图洛书是东方算术思维的最优表达，而且明显体现出一种自顶向下的统观思维。从分析的角度上讲，东方人认为分析之所以具有自由度，并不源于逻辑形式本身的严谨性，而是由于万象原一的绝对性，也就是说，“一生二”是对矛盾归纳的绝对依据，“二”泛指一切对立面；“二生三”是对矛盾双方演化过程中衍生能力的绝对依据，“三”并非一个具体量指，而只是运动衍生对象之笼统，“三生万物”则概括了相互作用的普遍性，逻辑的抵牾并非不能存在，而是不能实在。算术思维实际上基于以下逻辑：“可确定的方为可自明”——>“可完整描述的方为可确定的”（可完整描述的主要形式包括列举、归纳、拟合以及特征模糊组合）——>“可计算程序化的方为可完整描述的”

传统上认为数学思维的宗旨是严谨和无差，工程思维则是近似和拟合的，随着上述工程思维向数学思维的渗透，精密工程对数学思维的需求也日益旺盛，在计算机图形学、模式识别等领域，如计算机图像中距离、面积的测量就需要对工程算法的基础上引入进一步的抽象归纳，抽象出点、形状、距离的普遍关系，在模糊估算的算法中，则需要引入数学猜想思维，如何能够提出并证明一项简洁的猜想用于模糊估算，是工科所需要解决的课题。

— THE END —