趣解面试高频算法难题:数组中的第K个最大元素【文末送书】

共 4533字,需浏览 10分钟

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2021-06-12 17:20



大家好,欢迎来到 Crossin的编程教室 !

今天咱们来聊个算法小问题~

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第二天,在另一家公司……

小灰是吧?请简单介绍一下你自己。74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp499e47d1b05e3148322fca8064d7b207.webp

74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp 395335042342cd8e1dcd001d0c503f1f.webp好的,blah blah blah……

下面考你一道算法题:

给你一个无序数组,要求你找出数组中的第k大元素。74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp499e47d1b05e3148322fca8064d7b207.webp


题目是什么意思呢?比如给定的无序数组如下:

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如果 k=6,也就是要寻找数组中的第6大元素,这个元素是哪一个呢?

显然,数组中第一大的元素是24,第二大的元素是20,第三大的元素是17 ......第6大的元素是9

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74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp19188b8eafa22e77ed5cd31d1ce4ffec.webp让我想想啊……

395335042342cd8e1dcd001d0c503f1f.webp对了,我可以先把无序数组排序,然后数出排序后的第k个元素!

方法1:排序法

这是最容易想到的方法,先把无序数组从大到小进行排序,排序后的第k个元素,自然就是数组中的第k大元素。

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先进行排序的话,算法时间复杂度是O(nlogn),

性能有些差,有没有更优化的方法?74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp499e47d1b05e3148322fca8064d7b207.webp

19188b8eafa22e77ed5cd31d1ce4ffec.webp让我想想啊……

395335042342cd8e1dcd001d0c503f1f.webp对了,我可以维护一个长度为k的数组,有序存储当前k个较大的元素!

方法2:插入法

维护一个长度为k的有序数组A,用于存储已知的k个较大的元素。

接下来遍历原数组,每遍历到一个元素,和数组A中最小的元素相比较,如果小于等于数组A的最小元素,继续遍历;如果大于数组A的最小元素,则插入到数组A中,并把曾经的最小元素“挤出去”。

比如k=3,先把最左侧的7,5,15三个数有序放入数组A当中,代表当前最大的3个数。

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这时候,遍历到元素3, 由于3<5,继续遍历。

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接下来遍历到17,由于17>5,插入到数组A的合适位置,类似于插入排序,并把原先最小的元素5“挤出去”。

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继续遍历原数组,一直遍历到数组的最后一个元素......

最终,数组A中存储的元素是24,20,17,代表着整个数组中最大的3个元素。此时数组A中最小的元素17,就是我们要寻找的第k大元素。

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这个方法的时间复杂度是O(nk),如果k的值比较大,其性能可能还不如方法一。

74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp还有没有更优化的方案?499e47d1b05e3148322fca8064d7b207.webp

19188b8eafa22e77ed5cd31d1ce4ffec.webp好像没有更快的方法了吧……

呵呵,没关系,回家等通知去吧!74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp499e47d1b05e3148322fca8064d7b207.webp

解题思路

小灰,你刚刚去面试了?结果怎么样?74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp

74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webpb7b2df29c78b56f7e32ca7c6ada11372.webp唉……

74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webpedbc8cad71216f8897def0a76314613f.webp大黄,要想找到无序数组中的第k大元素,有什么性能较高的方法吗?

这是一道很经典的算法题,解法有很多种,

其中最容易想到的是利用二叉堆来解决。8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp


关于二叉堆的概念,在上一本《漫画算法》中我们介绍过。简而言之,二叉堆是一种特殊的完全二叉树,它包含最大堆和最小堆两种形式。

其中最小堆的特点,是每一个父结点都小于等于自己的子结点,堆顶是整个堆中最小的结点。要解决这个算法题,我们可以利用最小堆的特性。

19188b8eafa22e77ed5cd31d1ce4ffec.webp可是,最小堆和这个算法题究竟有什么关系呢?

别急,让我来解释一下这个方法的思路。74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp

方法3:最小堆法

维护一个容量为k的最小堆,堆中的k个结点代表着数组当前最大的k个元素,而堆顶显然是这k个元素中的最小值

遍历原数组,每遍历一个元素,就和堆顶比较,如果当前元素小于等于堆顶,说明该元素一定不是最大的k个元素之一,继续遍历;如果元素大于堆顶,说明该元素有可能是最大的k个元素之一,把当前元素放在堆顶位置,并调整二叉堆(下沉操作)。

遍历结束后,堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值,也就是第k大元素

假设k=5,具体的执行步骤如下:

1. 把数组的前k个元素构建成堆。

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2. 继续遍历数组,和堆顶比较,如果小于等于堆顶,则继续遍历;如果大于堆顶,则取代堆顶元素并调整堆。

遍历到元素2,由于 2<3,所以继续遍历。

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遍历到元素20,由于 20>3,20取代堆顶位置,并调整堆。

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遍历到元素24,由于 24>5,24取代堆顶位置,并调整堆。

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以此类推,我们一个一个遍历元素,当遍历到最后一个元素8的时候,最小堆的情况如下:

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3. 此时的堆顶,就是堆中的最小值,也就是数组中的第k大元素。

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这个方法的时间复杂度是多少呢?

  • 构建堆的时间复杂度是 O(k)

  • 遍历剩余数组的时间复杂度是O(n-k)

  • 每次调整堆的时间复杂度是 O(logk)

其中2和3是嵌套关系,1和2,3是并列关系,所以总的最坏时间复杂度是O((n-k)logk + k)。当k远小于n的情况下,也可以近似地认为是O(nlogk)

这个方法的空间复杂度是多少呢?

刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示,是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话,我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆,这样就免去了开辟额外的存储空间。

因此,这个方法的空间复杂度是O(1)。

395335042342cd8e1dcd001d0c503f1f.webp明白了,最小堆法还真是个巧妙的解决方法!怎么用代码来实现呢?

代码很简单,让我们来看一看:8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp

public class KthLargestNumber {    /**     * 寻找第k大的元素     * @param array  待调整的堆     * @param k  第几大     */    public static int findKthLargestNumber(int[] array, int k) {        //1.用前k个元素构建最小堆        buildHeap(array, k);        //2.继续遍历数组,和堆顶比较        for (int i = k; i < array.length; i++) {            if (array[i] > array[0]) {                array[0] = array[i];
downAdjust(array, 0, k); } } //3.返回堆顶元素 return array[0]; }
/** * 构建堆 * @param array 待调整的堆 * @param length 堆的有效大小 */ private static void buildHeap(int[] array, int length) { // 从最后一个非叶子结点开始,依次下沉调整 for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i--) { downAdjust(array, i, length); } }
/** * 下沉调整 * @param array 待调整的堆 * @param index 要下沉的结点 * @param length 堆的有效大小 */ private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) { // temp保存父结点值,用于最后的赋值 int temp = array[index]; int childIndex = (2 * index) + 1;
while (childIndex < length) { // 如果有右孩子,且右孩子小于左孩子的值,则定位到右孩子 if (((childIndex + 1) < length) && (array[childIndex + 1] < array[childIndex])) { childIndex++; } // 如果父结点小于任何一个孩子的值,直接跳出 if (temp <= array[childIndex]) {
break; } //无需真正交换,单向赋值即可 array[index] = array[childIndex]; index = childIndex; childIndex = (2 * childIndex) + 1; }
array[index] = temp; }
public static void main(String[] args) { int[] array = new int[] { 7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8 }; System.out.println(findKthLargestNumber(array, 5)); }}

395335042342cd8e1dcd001d0c503f1f.webp原来如此,这下彻底明白啦!

要寻找数组的第k大元素,其实还有一种方法,这种方法就是分治法8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp

方法4:分治法

大家都了解快速排序,快速排序利用分治法,每一次把数组分成较大和较小的两部分。

我们在寻找第k大元素的时候,也可以利用这个思路,以某个元素a为基准,把大于a的元素都交换到数组左边,小于a的元素都交换到数组右边。

比如我们选择以元素7作为基准,把数组分成了左侧较大,右侧较小的两个区域,交换结果如下:

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包括元素7在内的较大元素有8个,但我们的k=5,显然较大元素的数目过多了。于是我们在较大元素的区域继续分治,这次以元素12位基准:

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这样一来,包括元素12在内的较大元素有5个,正好和k相等。所以,基准元素12就是我们所求的。

这就是分治法的大体思想,这种方法的时间复杂度甚至优于最小堆法,可以达到O(n)。有兴趣的小伙伴可以尝试用代码实现一下。

好了,关于寻找数组第k大元素的方法,我们就介绍到这里,

想要了解更多内容,可以阅读《漫画算法2》哦!74aa665986fc6ec1fe8aa60b3c26f59c.webp8146e6e607a4355769b76836e613dd8d.webp


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祝各位好运哇!

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十大经典排序算法动图演示+Python实现




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