数学家为啥能研究黑洞,还能拿诺贝尔物理学奖?

机器学习与数学

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2020-10-09 14:49

〄 第一张黑洞照片。

不想看公式就直接看留言。说黑洞,不得不说爱因斯坦提出的广义相对论中的场方程。

〄 年轻时的爱因斯坦。

爱因斯坦场方程

左侧

  • : Ricci 曲率张量
  • : 标量曲率,由 Ricci 曲率张量缩并而来
  • : 4 维时空的度量张量
  • : 宇宙学常数

右侧

  • : 牛顿的重力常数
  • : 光速
  • : 应力-能量张量

曲率张量听上去是不是很高大上,其实这里指的是 2 阶张量,可以直接用一个矩阵表示。只是它们都是物理量,不受坐标系选择的影响。

爱因斯坦场方程是描述了时空中每一点处能量动量的数量关系,但是每一点的上面那些张量可以不同。用到的背景工具是黎曼几何以及张量分析。

我们可以简单地想象成一张嵌在 3 维空间中的 2 维曲面,然后你在这些面上生活,只是它那里是 4 维的。

〄 2 维流形。

上面那个场方程中的张量在时空中每一点可以不同,相当于在每一点配上了好几个矩阵,每点的标量 R 其实也类似,这里省略。可以设想宇宙中每点都有好几把尺子,它们还可以处处不同。

爱因斯坦认为,引力场或者物质的存在导致了时空的弯曲,而时空的弯曲恰恰体现了引力本身。上面的场方程就是把爱因斯坦的这个思想给数量化了。

可是,这个跟黑洞有神马关系?爱因斯坦在场方程中早就想到黑洞这回事了?

方程的解

这个方程的左边对应时空弯曲,而右边对应物质及其运动。爱因斯坦拍脑袋(上帝给了他灵感吧),再加上一些数学家的帮助,他终于搞定了这个方程。

但是,这相当于只是给时空中每一点下了一些规矩,具体时空是怎么样的,需要求解这个场方程才知道。解方程也意味着构造时空,换句话说,不同的解对应着一个不同的宇宙。那么我们所处的宇宙到底是怎么样的呢?

〄 德国天文物理学家卡尔·史瓦西(1873-1916)

第一个从数学上求解这个方程的是德国天文物理学家卡尔·施瓦西,他得出,

其中,,以及 。别的咱们不管,就看里面的这一项,

注意它的分母,,万一等于 0 怎么办?别瞎想,小学老师教我们的时候说了呀,分母不能为 0 啊。那怎么办?万一有些情况下这几个数凑一起算出来刚好等于 0,万一碰到一个爱问十万个为什么的小朋友,可咋办办呢?

数学家、物理学家有办法,给它取个名字特殊化就可以了,对,就叫它奇点。史瓦西认为,奇点附近将具有极大的引力,边上任何物质,连光都得被吸进去了。后来美国物理学家惠勒将它命名为黑洞。

那么它存在吗?仔细看,其中的 都是常数,质量 也好说,就差 了。那么假设我们所在系统中的最大天体,就是说太阳,如果把它压缩到很小很小,例如像新冠病毒那么小,是不是可以达到这个条件呢。这就是所谓的史瓦西半径。

〄 你变这么小干吗,想烧我吗?不是,我只是想吸了你。
简单计算下其实不需要那么小,大约把太阳压缩到 3 公里就可以了。
爱因斯于 1915 年发布广义相对论,史瓦西在年底就求出了它的第一个真空解。在当时,这也超出了爱因斯坦本人的预期。要知道求解这组非线性偏微分方程是件不容易的事情,而此时的史瓦西还在一战的前线,可惜没多久就英年早逝了。

史瓦西的解最让人振奋的一面是,它从数学上预言了黑洞。注意,是数学上。那么我们实际的宇宙到底有没有黑洞呢?拍脑袋是定不下来的,要么就问上帝,要么根据实际观测来推断。

彭罗斯做了什么

这次数学家彭罗斯得了诺贝尔奖,是因为他从纯数学的角度研究黑洞,并提出了所谓的奇点定理,从而从理论上去除了对解的对称性要求。

像上面史瓦西等人提出的一些解的存在是严重依赖对称性的,而真实宇宙环境中的对称性会不会有那么完美呢?那么依赖这种解的黑洞是不是不存在呢?天体坍缩是否能满足这个对称性从而形成黑洞呢?

〄 英国数学家彭罗斯。

在彭罗斯之前,天文界的主流观点认为黑洞多半是意淫出来的,在我们所处的宇宙中估计是不存在。

而彭罗斯在上世纪六十年代,从纯数学的角度来研究天体物理。他在 1965 年的论文(Gravitational Collapse and Space-Time Singularities)中指出,即使偏离球面对称仍然会出现时空奇点。

也就是说,不管对称不对称之类的要求,最终都会出现一个数学上的奇点,这个奇点就能形成黑洞。从而重新燃起了天文学界对黑洞的热情,促使人们继续去寻找黑洞。

〄 1965 年论文插图。


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