1500字，8个问题，彻底理解堆！
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2020-09-21 00:37
堆(heap)是计算机科学中被广泛使用的数据结构，如排序、推荐，还可作为优先级队列，与图也能结合，还能与常见算法思想如贪心等结合起来，高效实现算法。
要想掌握堆，可能需要首先考虑清楚以下几个问题：
什么是堆？ 数组和堆的关系？ 已知数组，如何构建一个小根堆 构建堆的时间复杂度是多少？ 堆的应用都有哪些？ 删除最小元素，如何再构建堆？ 向建好的堆中，插入一个元素，如何再构建堆？ 使用堆的案例：最后一块石头的重量
下面，我尽量用最精简的语言解释上述问题，若有错误或表达不清楚地方，请留言告诉我。
1 什么是堆？
个元素的序列，当且仅当满足下关系时，称之为小根堆：
其中,
2 数组和堆的关系？
物理存储上，堆一种完全基于数组的数据结构；逻辑存储上，堆又是一颗完全二叉树。太强了！
3 已知数组，如何构建一个小根堆？
这个问题，完全可以当作一道编程题，实际确实也是面试中最高频题目之一。构建小根堆，形象来说，就是不断调整三角的过程：
数组折半处才可能有左、右子节点，每次从上、左、右角点中选择最小者，并调整到上角点中。并依次调整这样的三角。
了解以上过程，要想一次写出无任何bug的建堆代码，依然充满挑战。确实太容易出错了！
#! ~/anaconda3/bin/python3.7
def heapify(nums):
"""
build a minimize heap
:type nums: list
:param nums: input list
:return: minHeap
"""
for low in range(len(nums)//2, -1, -1):
down_adjust(nums, low, len(nums))
def down_adjust(nums, low, high):
"""
heapify at [low,high]
:param nums: list
:param low:
:param high:
:return:
"""
parent = low
left = 2*parent + 1
while parent < high:
if left+1 < high and nums[left+1] < nums[left]:
left = left + 1
if left < high and nums[left] < nums[parent]:
nums[left], nums[parent] = nums[parent], nums[left]
parent = left
left = 2*parent + 1
else:
break
这个代码测试多遍，目前未发现bug.
4 构建堆的时间复杂度是多少？
留意heapify 函数，这层循环是线性次数，down_adjust函数，每循环一次， parent 都会乘以2，因此循环次数为 .
综合时间复杂度为：，其中为数组长度。
5 堆的应用都有哪些？
我们熟知的堆排序正是基于堆，它是一种排序快且稳定的排序算法，Python解释器的排序函数基于它，进一步验证它的高效。
基于堆能实现优先级队列，就于小根堆而言，根节点是最小值，移除最小值再建堆的时间复杂为，性能佳。
用最小堆结构还可以实现一个特殊的树结构–哈弗曼树(Haffman Tree)。哈弗曼树可以用来给文本压缩、也可以解决一些优化问题。
对于推荐算法中，推荐最热商品TOPK问题，堆都会有一定使用。
6 删除最小元素，如何再构建堆？
上面说到，移除小根堆的最小元素后，依然要维持堆的结构。一般做法：堆的最后一个元素覆盖第一个元素，再次调用down_adjust函数调整：
def heap_pop(nums):
"""
:param nums: heap
:return: heap after removing minimize elements
"""
nums[0] = nums[-1]
down_adjust(nums, 0, len(nums))
nums.pop()
因为down_adjust函数时间复杂度为，所以删除最小元素构建堆的时间复杂度为.
7 插入一个元素，如何再构建堆？
这个过程一般操作方法：插入到堆的最后，然后与对应父节点比较大小，不断向上调整。
这个代码，大家不妨自己写一下，不超过10行。顺便测验下你是否真正理解堆。
8 使用堆的案例：最后一块石头的重量
这是一道leetcode的题目。题目是这样：
有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。
每一回合，从中选出两块 最重的 石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头的重量。如果没有石头剩下，就返回 0。
看懂题意了吗？看不懂的点击：https://leetcode-cn.com/problems/last-stone-weight
分析
直接根据题目的要求，选出当前最大两块石头，消除一下，显然这个操作与后续状态无关，因此贪心求解即可。
使用堆数据结构，因为Python中默认的heapq为小根堆，简单转换一下。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)
代码
from heapq import *
class Solution(object):
def lastStoneWeight(self, stones):
"""
:type stones: List[int]
:rtype: int
"""
stones = [stone*-1 for stone in stones]
heapify(stones)
while len(stones) > 1:
fst,sec = heappop(stones),heappop(stones)
if fst - sec < 0:
heappush(stones,fst-sec)
return -heappop(stones) if stones else 0
使用堆非常方便的返回前K个最值，压入元素依然会维护堆结构。
以上就是今天堆heap的总结，如果对你有帮助，不妨给我点赞支持下，让我更有动力写好一篇，谢谢。
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