算法工程师面试必考项：二叉树

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· 2021-10-18

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1 二叉树简介

二叉树是最基本的数据结构之一，二叉树（Binary Tree）是包含n个节点的有限集合，该集合或者为空集（此时，二叉树称为空树），或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

一个典型的二叉树如下图所示

由上述的定义可以看出，二叉树中的节点至多包含两棵子树，分别称为左子树和右子树，而左子树和右子树又分别至多包含两棵子树。由上述的定义，二叉树的定义是一种递归的定义。

对于二叉树，包含一些性质：

在二叉树中，第 $i$ 层上至多有 $2^{i-1}$ 个节点 $(i\ge 1)$
深度为的二叉树至多有 $2^{k-1}$ 个节点 $(k\ge 1)$
对一棵二叉树，如果叶子节点的个数为 $n_0$ ，度为2的节点个数为 $n_2$ ，则 $n_0=n_2+1$
具有 $n$ 个节点的完全二叉树的深度为⌊⌋+1

2 二叉树的遍历

前序遍历：先访问根节点，再前序遍历左子树，再前序遍历右子树

中序遍历：先中序遍历左子树，再访问根节点，再中序遍历右子树

后序遍历：先后序遍历左子树，再后序遍历右子树，再访问根节点

层序遍历：按二叉树的深度，一层一层依次遍历

注意点

以根访问顺序决定是什么遍历
左子树都是优先右子树

2.1 递归解法

2.1.1 前序遍历

def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  def dfs(root):    if not root:      return     res.append(root.val) # 将根节点插入栈中    dfs(root.left)    dfs(root.right)  dfs(root)  return res

2.1.2 中序遍历

def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  def dfs(root):    if not root:      return     dfs(root.left)    res.append(root.val)  # 将根节点插入栈中    dfs(root.right)  dfs(root)  return res

2.1.3 后序遍历

def posorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  def dfs(root):    if not root:      return     dfs(root.left)    dfs(root.right)    res.append(root.val)  # 将根节点插入栈中  dfs(root)  return res

一样的代码，稍微调用一下位置就可以，如此固定的套路，使得只掌握递归解法并不足以令面试官信服。

因此我们有必要再掌握迭代解法，同时也会加深我们对数据结构的理解。

2.2 迭代解法

2.2.1 前序遍历

144. 二叉树的前序遍历

# 常规解法def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  if root is None:    return []  res = []  stack = [root]  # 辅助栈  while stack:    root = stack.pop()    if root is not None:      res.append(root.val)      if root.right is not None:        stack.append(root.right)      if root.left is not None:        stack.append(root.left)
  return res

# 模版解法def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = []  # 辅助栈  while stack or root:    while root:      '''      这其实就是在对于每个节点，遍历它的左孩子链，并且在遍历的过程中，保存遍历的结果,并且在每遍历一个左节点的时候，都添加它的右孩子到辅助栈中      '''      res.append(root.val)  # 将根节点加入列表      stack.append(root)      root = root.left   # 遍历左子树    root = stack.pop()   # 左子树遍历完毕    root = root.right    # 遍历右子树  return res

# 颜色标记法'''使用颜色标记节点的状态，新节点为白色，已访问的节点为灰色。如果遇到的节点为白色，则将其标记为灰色，然后将其右子节点、自身、左子节点依次入栈。如果遇到的节点为灰色，则将节点的值输出。令白色为0，灰色为1'''def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = [(0, root)]  while stack:    flag, node = stack.pop()    if node is None: continue   # 空结点跳过    if flag == 0:      # 前序的倒序记录，子结点标记为 1，已经标过 1 的父结点状态置为 0      stack.append((0, node.right))      stack.append((0, node.left))      stack.append((1, node))     else:  # 标记为1则输出      res.append(node.val)  return res

2.2.2 中序遍历

94. 二叉树的中序遍历

# 模版解法def inorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = []  # 辅助栈  while stack or root:    while root:      stack.append(root)      root = root.left   # 遍历左子树    root = stack.pop()   # 左子树遍历完毕    res.append(root.val) # 将根节点加入列表    root = root.right    # 遍历右子树  return res

# 颜色标记法def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = [(0, root)]  while stack:    flag, node = stack.pop()    if node is None: continue   # 空结点跳过    if flag == 0:      # 前序的中序记录，子结点标记为 1，已经标过 1 的父结点状态置为 0      stack.append((0, node.right))      stack.append((1, node))       stack.append((0, node.left))    else:  # 标记为1则输出      res.append(node.val)  return res

2.2.3 后序遍历

145. 二叉树的后序遍历

# 模版解法# 将前序遍历结果倒叙输出def posorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = []  # 辅助栈  while stack or root:    while root:      res.append(root.val) # 将根节点加入列表      stack.append(root)      root = root.left   # 遍历左子树    root = stack.pop()   # 左子树遍历完毕    root = root.right    # 遍历右子树  return res[::-1]

# 颜色标记法def preorderTraversal(self, root: TreeNode) -> List[int]:  res = []  stack = [(0, root)]  while stack:    flag, node = stack.pop()    if node is None: continue   # 空结点跳过    if flag == 0:      # 后序的中序记录，子结点标记为 1，已经标过 1 的父结点状态置为 0      stack.append((0, node))       stack.append((0, node.left))      stack.append((1, node.right))    else:  # 标记为1则输出      res.append(node.val)  return res

2.3 层序遍历

二叉树的层次遍历的迭代方法与前面不用，因为前面的都采用了深度优先搜索的方式，而层次遍历使用了广度优先搜索，广度优先搜索主要使用队列实现，也就不能使用前面的模板解法了。

广度优先搜索的步骤为：

初始化队列 q，并将根节点 root 加入到队列中；
当队列不为空时：

队列中弹出节点 node，加入到结果中；
如果左子树非空，左子树加入队列；
如果右子树非空，右子树加入队列；

102. 二叉树的层序遍历

# BFSdef levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:  if not root:    return []  res = []  queue = [root]
  while queue:    level = []  # 保存每一层的节点    for _ in range(len(queue)):      node = queue.pop(0)  # 取队列头节点      level.append(node.val)      if node.left:        queue.append(node.left)      if node.right:        queue.append(node.right)
    res.append(level)
  return res

# DFS 使用递归调用DFS，添加一个深度的参数# 记录每个节点的深度 depth。递归到新节点要把该节点放入 depth 对应列表的末尾def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:  res = []  if not root:    return
  def dfs(node, depth):    if len(res) == depth:      res.append([])  # 当一层遍历完，添加[]    res[depth].append(node.val) # 将节点添加进[]末尾    if node.left is not None:      dfs(node.left, depth + 1)     if node.right:      dfs(node.right, depth + 1)
  dfs(root, 0)  return res

107. 二叉树的层次遍历 II

给定一个二叉树，返回其节点值自底向上的层次遍历。（即按从叶子节点所在层到根节点所在的层，逐层从左向右遍历）

# BFSdef levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:  if not root:    return []  res = []  queue = [root]
  while queue:    level = []  # 保存每一层的节点    for _ in range(len(queue)):      node = queue.pop(0)  # 取队列头节点      level.append(node.val)      if node.left:        queue.append(node.left)      if node.right:        queue.append(node.right)
    res.insert(0, level)  # 插入到列表开头
  return res

# DFS 使用递归调用DFS，改用insert插入到列表开头def levelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:  res = []  if not root:    return
  def dfs(node, depth):    if len(res) == depth:      res.insert(0, [])  # 当一层遍历完，插入[]到开头    res[-(depth+1)].append(node.val) # 将节点添加进[]    if node.left is not None:      dfs(node.left, depth + 1)     if node.right:      dfs(node.right, depth + 1)
  dfs(root, 0)  return res

3 常见题目示例

104. 二叉树的最大深度

给定一个二叉树，找出其最大深度。

思路1：广度优先搜索BFS

思路2：分治法

# BFSdef maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:  if root is None:      return 0  queue = [(1, root)]  # 添加一个层数depth参数  while queue:      depth, root = queue.pop(0)      if root.left:          queue.append((depth+1, root.left))      if root.right:          queue.append((depth+1, root.right))  return depth

# 分治算法def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:   if root is None:       return 0   left = self.maxDepth(root.left)   right = self.maxDepth(root.right)
   if left > right:       return left + 1   else:       return right + 1

110. 平衡二叉树

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：
一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。

思路：分治法，左边平衡 && 右边平衡 && 左右两边高度 <= 1，因为需要返回是否平衡及高度，要么返回两个数据，要么合并两个数据，所以用-1 表示不平衡，>0 表示树高度（二义性：一个变量有两种含义）。

# 分治法def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:  def maxDepth(root):    if not root:        return 0    left = maxDepth(root.left)    if left  == -1:        return -1    right = maxDepth(root.right)    if right == -1:        return -1    return max(left, right) + 1 if abs(left - right) < 2 else -1   
  return maxDepth(root) != -1

def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:  def maxDepth(root):      if not root:          return True, 0      lf, lh = maxDepth(root.left)      rf, rh = maxDepth(root.right)      if lf and rf and abs(lh-rh) < 2:          return True, max(lh, rh) + 1      return False, max(lh, rh) + 1  return maxDepth(root)[0]

236. 二叉树的最近公共祖先

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

思路：分治法，有左子树的公共祖先或者有右子树的公共祖先，就返回子树的祖先，否则返回根节点

当 left 和 right 同时为空：说明 root 的左 / 右子树中都不包含 p,q ，返回 None ；
当 left 和 right 同时不为空：说明 p, q 分列在 root 的异侧（分别在左 / 右子树），因此 root 为最近公共祖先，返回 root ；
当 left 为空，right 不为空：p, q都不在 root 的左子树中，直接返回 right 。具体可分为两种情况：

3.1 p, q 其中一个在 root 的右子树中，此时 right 指向 p（假设为 p ）

3.2 p, q 两节点都在 root 的右子树中，此时的 right 指向最近公共祖先节点

当 left 不为空， right 为空：与情况 3. 同理；

# 左搜搜，右搜搜。左右都有，那就是你；左没便在右，右没便在左def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':  if root in (None, p, q):  # 如果不为树，或者p或q为根节点，则直接返回根节点    return root  left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)  right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)  if left and right:    # 左右节子树返回值均不为None    return root  if not left:    # 左没便在右              return right  if not right:   # 右没便在左    return left

103. 二叉树的锯齿形层次遍历

给定一个二叉树，返回其节点值的锯齿形层次遍历。（即先从左往右，再从右往左进行下一层遍历，以此类推，层与层之间交替进行）。

思路：根据层数奇偶不同选择顺序或倒序排列，基本方法与层次遍历一样，只是遇到奇数层（层数从0开始）要倒序插入

def zigzagLevelOrder(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:    res = []    def helper(root, depth):        if not root:            return        if len(res) == depth:            res.append([])        if depth %2 == 0:  # 偶数行正常排序            res[depth].append(root.val)        else:              # 奇数行倒序插入            res[depth].insert(0, root.val)        helper(root.left, depth + 1)        helper(root.right, depth + 1)
    helper(root, 0)    return res

701. 二叉搜索树中的插入操作

给定二叉搜索树（BST）的根节点和要插入树中的值，将值插入二叉搜索树。返回插入后二叉搜索树的根节点。保证原始二叉搜索树中不存在新值。
注意，可能存在多种有效的插入方式，只要树在插入后仍保持为二叉搜索树即可。你可以返回任意有效的结果。

思路：找到最后一个叶子节点满足插入条件即可

# DFS递归查找插入位置def insertIntoBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:   if not root:     # 根节点为空，则直接插入到根节点的位置       return TreeNode(val)   # 当root.val > val时，插入到左子树   if root.val > val:       root.left = self.insertIntoBST(root.left, val)   # 当root.val < val时，插入到右子树   else:       root.right = self.insertIntoBST(root.right, val)   return root

# 迭代def insertIntoBST(self, root: TreeNode, val: int) -> TreeNode:  node = root   # 创建指针指向root  while node:    # 当node.val > val时，插入到左子树    if node.val > val:      if not node.left:  # 当左子树没有左子节点，则插入到左子树左子节点        node.left = TreeNode(val)        return root      else:      # 左子节点存在，则指针指向左子节点        node = node.left      else:      if not node.right:        node.right = TreeNode(val)        return root      else:     # 右子节点存在，则指针指向右子节点        node = node.right    return TreeNode(val)

98. 验证二叉搜索树

给定一个二叉树，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

思路 1：中序遍历，检查结果列表是否已经有序

思路 2：分治法，判断左 MAX < 根 < 右 MIN

def isValidBST(self, root: TreeNode) -> bool:   # 中序遍历   stack = []   temp = float('-inf')   while stack or root:       while root:           stack.append(root)           root = root.left    # 遍历左子树       root = stack.pop()      # 左子树遍历完成，此时root为左子树叶子节点       # 由于节点遍历顺序是左根右，每次让当前节点与上一个保存当节点值比较，即当前为根节点，则上一个节点为左节点，值当前节点小于上一个节点，则返回False       if root.val <= temp:           return False       temp = root.val         # temp值变为当前节点当值       root = root.right       # 遍历右子树   return True

# 分治法def isValidBST(self, root: TreeNode) -> bool:  def helper(root, lower = float('-inf'), upper = float('inf')):    # 递归终止条件，当递归到叶子节点，则退出    if not root:          return True        # 判断是否在区间内，即判断左 MAX < 根 < 右 MIN    if root.val <= lower or root.val >= upper:        return False    # 判断左子树，上边界设为根节点的值    if not helper(root.left, lower, root.val):        return False    # 判断右子树，下边界设为根节点的值    if not helper(root.right, root.val, upper):        return False    # 前面判断都没有返回False的情况，则是平衡树    return True        
  return helper(root)

124. 二叉树中的最大路径和

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。
本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

思路：分治法，分为三种情况：左子树最大路径和最大，右子树最大路径和最大，左右子树最大加根节点最大，需要保存两个变量：一个保存子树最大路径和，一个保存左右加根节点和，然后比较这个两个变量选择最大值即可

def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:  self.maxSum = float("-inf")    # 定义全局变量，保存最大和  def maxGain(node):    if not node:        return 0    # 递归计算左右子节点的最大路径和    left = maxGain(node.left)     right = maxGain(node.right)
    # 节点的最大路径和取决于该节点的值与该节点的左右子节点的最大路径和    total = max(node.val,                node.val + left,                node.val + right)          # 更新最大路径和    self.maxSum = max(self.maxSum, total, node.val + left + right)     # 返回节点的最大贡献值    return total
  maxGain(root)  return self.maxSum

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