层次分析法告诉你如何选择一部手机

数学算法俱乐部

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 ·

2020-09-12 03:22















数学算法俱乐部



日期2020年09月09日

正文共:1326字4

预计阅读时间4分钟

来源数学建模


问题描述:通讯交流在当今社会显得尤其重要,手机便是一个例子,现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多,品种五花八门,如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。
目标:选购一款合适的手机
准则:选择手机的标准大体可以分成四个:实用性,功能性,外观,价格。方案:由于手机厂家有几十家,我们不妨可以将其归类:1欧美(iphone);2亚洲(索爱);3国产(华为)。

解决步骤:
1.建立递阶层次结构模型
选购手机层次结构图
 
2.设置标度
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示,即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要,当需要较高精度时,可以取两个相邻属性之间的值,这样就得到9个数值,即9个标度。
为了便于将比较判断定量化,引入19比率标度方法,规定用13579分别表示根据经验判断,要素i与要素j相比:同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要,而2468表示上述两判断级之间的折衷值。
 
标度
定义(比较因素ij
1
因素ij同样重要
3
因素ij稍微重要
5
因素ij较强重要
7
因素ij强烈重要
9
因素ij绝对重要
2468
两个相邻判断因素的中间值
倒数
因素ij比较得判断矩阵a ij,则因素ji相比的判断为aji=1/aij
 
注:aij表示要素i与要素j相对重要度之比,且有下述关系:
aij=1/aji  aii=1 ij=12n
显然,比值越大,则要素i的重要度就越高。
 
3.构造判断矩阵
表1 判断矩阵A—B
A
B1
B2
B3
B4
B1
1
3
5
1
B2
 1/3
1
3
 1/3
B3
 1/5
 1/3
1
 1/5
B4
1
3
5
1

判断矩阵B1—C
B1
C1
C2
C3
C1
1   
 1/3
 1/5
C2
3   
1   
 1/3
C3
5   
3   
1   

判断矩阵B2—C
B2
C1
C2
C3
C1
1   
3   
3   
C2
 1/3
1   
1   
C3
 1/3
1   
1   

判断矩阵B3—C
B3
C1
C2
C3
C1
1   
3   
6   
C2
 1/3
1   
4   
C3
 1/6
 1/4
1   

判断矩阵B4—C
B4
C1
C2
C3
C1
1   
 1/4
 1/6
C2
4   
1   
 1/3
C3
6   
3   
1   

4.计算各判断矩阵的特征值,特征向量和一致性检验
用求和法计算特征值:
1将判断矩阵A按列归一化(即列元素之和为1):bij= aij /Σaij
2将归一化的矩阵按行求和:ci=Σbij i=123….n);
3ci归一化:得到特征向量W=w1w2…wn Twi=ci /Σci 
  W即为A的特征向量的近似值;
4求特征向量W对应的最大特征值:

1).
按列归一化后为



2).按行求和并归一化后得


3).计算特征根:


同理有


4).计算最大特征根:

5).进行一致性检验:

查同阶平均随机一致性指针(表6所示)知R.I=0.89,(一般认为CI<0.1 CR<0.1时,判断矩阵的一致性可以接受,否则重新两两进行比较)。

 表6 平均随机一致性指针



满足一致性要求。
同理可得剩余判断矩阵的特征根,特征向量,一致性检验。
判断矩阵B1—C 

判断矩阵B2---C  

判断矩阵B3---C  

判断矩阵B4---C  


5.层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后,就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm,它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm;她的下一层次三级有p1, p2,…,pnn个要素,令要素picj的重要度(权重)为vij,则三级要素pi的综合重要度为:


层次总排序表

6.结论
由表7可以看出,三个方案的优劣排序是C3>C2>C1,因此,对于大部分人来说,选购使用且价格便宜的国产华为手机是比较实惠的。


— THE END —


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