线性代数一百问：正交矩阵的名字是怎么来的？-技术圈

问题 1：为什么满足的矩阵叫正交矩阵呢？

满足的矩阵的列（或行）明明是标准正交的，似乎更应该叫作标准正交矩阵才对啊？这么说的话，可能是我们想多了。实际上，这个名字是 Frobenius 在 1878 年正式引入的，是从正交变换这个角度来取的。

然而，在线性代数中，有些书将正交变换定义为保内积的线性变换，而有些书将其定义为保向量长度（范数）的线性变换。我们知道，内积与长度是不同的概念。那么到底哪个定义对呢，或者说更本质呢？

正交好像是由垂直这个概念引申出来的，垂直涉及角度吧，这么来说是不是内积感觉更加本质呢？

答案是，其实它们是等价的。不过呢，这里的内积和长度其实本来就是有关系的。

定理：已知线性空间，这里限定为 n 维欧几里得空间，配有标准内积以及内积诱导的范数。现有上的线性变换，其中为矩阵，则下列命题等价：

证明：

先证。

\begin{aligned} \langle Au, Av \rangle &= \frac{\langle Au+Av, Au+Av \rangle - \langle Au-Av, Au-Av \rangle}{4} \\[0.8em] &= \frac{\|Au+Av\|^2 - \|Au-Av\|^2}{4}\\[0.8em] &= \frac{\|A(u+v)\|^2 - \|A(u-v)\|^2}{4}\\[0.8em] &= \frac{\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2}{4}\\[0.8em] &= \langle u, v \rangle \end{aligned}

其中第四个等号用到了第点。

再证。

对于任意，均有

\begin{aligned} \langle (A^{\top}A - I_{n})u, v \rangle &= \langle A^{\top}Au - u, v \rangle\\[0.8em] &= \langle A^{\top}Au, v \rangle- \langle u, v \rangle \\[0.8em] &= \langle Au, Av \rangle- \langle u, v \rangle\\[0.8em] & = 0 \end{aligned}

然后取代入上式最左边，得，最终得。

证明应该是简单的，因为第点中的等价于。